Номер 1.41, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.41. Сторона основания и боковое ребро правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ соответственно равны 4 см и 8 см. Найдите расстояние от точки $A_1$ до центроида тетраэдра $B_1ABC$.

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Введем трехмерную декартову систему координат.

Пусть вершина $A$ основания $ABC$ совпадает с началом координат, то есть точка $A$ имеет координаты $(0, 0, 0)$. Поскольку в основании лежит правильный треугольник со стороной $a=4$ см, расположим вершину $B$ на оси $Ox$. Тогда ее координаты будут $B(4, 0, 0)$.

Координаты вершины $C$ можно найти, зная, что треугольник $ABC$ равносторонний. Проекция точки $C$ на ось $Ox$ будет равна $a \cdot \cos(60^\circ)$, а на ось $Oy$ — $a \cdot \sin(60^\circ)$.
$x_C = 4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$
$y_C = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
Таким образом, координаты точки $C$ равны $(2, 2\sqrt{3}, 0)$.

Призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной, значит, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Длина бокового ребра, она же высота призмы, равна $h=8$ см. Расположим боковое ребро $AA_1$ вдоль оси $Oz$.
Тогда координаты вершин верхнего основания будут:
$A_1(0, 0, 8)$
$B_1(4, 0, 8)$
$C_1(2, 2\sqrt{3}, 8)$

Теперь найдем координаты центроида тетраэдра $B_1ABC$. Центроид тетраэдра — это точка, координаты которой являются средним арифметическим соответствующих координат его четырех вершин. Обозначим центроид буквой $G$.
Вершины тетраэдра: $B_1(4, 0, 8)$, $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$, $C(2, 2\sqrt{3}, 0)$.
Найдем координаты центроида $G(x_G, y_G, z_G)$:
$x_G = \frac{x_{B_1} + x_A + x_B + x_C}{4} = \frac{4 + 0 + 4 + 2}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
$y_G = \frac{y_{B_1} + y_A + y_B + y_C}{4} = \frac{0 + 0 + 0 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$z_G = \frac{z_{B_1} + z_A + z_B + z_C}{4} = \frac{8 + 0 + 0 + 0}{4} = \frac{8}{4} = 2$
Итак, координаты центроида тетраэдра $G$ равны $(\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$.

Нам осталось найти расстояние $d$ от точки $A_1(0, 0, 8)$ до точки $G(\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве:
$d = \sqrt{(x_G - x_{A_1})^2 + (y_G - y_{A_1})^2 + (z_G - z_{A_1})^2}$
$d = \sqrt{(\frac{5}{2} - 0)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)^2 + (2 - 8)^2}$
$d = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-6)^2}$
$d = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{3}{4} + 36}$
$d = \sqrt{\frac{28}{4} + 36}$
$d = \sqrt{7 + 36}$
$d = \sqrt{43}$

Следовательно, искомое расстояние от точки $A_1$ до центроида тетраэдра $B_1ABC$ равно $\sqrt{43}$ см.

Ответ: $\sqrt{43}$ см.