Номер 1.35, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.35. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны координаты четырёх вершин: $A(2; -1; 1)$, $B(1; 3; 4)$, $D(6; 0; 1)$, $A_1(4; 2; 0)$. Найдите координаты остальных вершин параллелепипеда.

Для нахождения координат остальных вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся свойствами векторов. В параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны, что означает равенство соответствующих векторов.

Известны координаты вершин: $A(2; -1; 1)$, $B(1; 3; 4)$, $D(6; 0; 1)$, $A_1(4; 2; 0)$.

Необходимо найти координаты вершин $C$, $B_1$, $D_1$, $C_1$.

Сначала найдем векторы, исходящие из вершины $A$ и определяющие параллелепипед:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (1-2; 3-(-1); 4-1) = (-1; 4; 3)$.

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (6-2; 0-(-1); 1-1) = (4; 1; 0)$.

$\vec{AA_1} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (4-2; 2-(-1); 0-1) = (2; 3; -1)$.

Теперь, используя эти векторы, найдем координаты недостающих вершин.

Нахождение координат вершины C

Основание $ABCD$ является параллелограммом, поэтому выполняется векторное равенство $\vec{DC} = \vec{AB}$. Координаты точки $C$ можно выразить через координаты точек $A, B, D$ по правилу параллелограмма: $\vec{OC} = \vec{OD} + \vec{DC} = \vec{OD} + \vec{AB}$. В координатной форме это можно записать как $C = D + B - A$.

Вычислим координаты точки $C$:

$x_C = x_D + x_B - x_A = 6 + 1 - 2 = 5$

$y_C = y_D + y_B - y_A = 0 + 3 - (-1) = 4$

$z_C = z_D + z_B - z_A = 1 + 4 - 1 = 4$

Ответ: $C(5; 4; 4)$

Нахождение координат вершины B₁

В параллелепипеде ребра $BB_1$ и $AA_1$ параллельны и равны, следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$. Чтобы найти координаты $B_1$, нужно к координатам $B$ прибавить координаты вектора $\vec{AA_1}$.

$B_1 = B + \vec{AA_1} = (1; 3; 4) + (2; 3; -1) = (1+2; 3+3; 4+(-1)) = (3; 6; 3)$.

Ответ: $B_1(3; 6; 3)$

Нахождение координат вершины D₁

Аналогично, ребра $DD_1$ и $AA_1$ параллельны и равны, значит $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$. Чтобы найти координаты $D_1$, нужно к координатам $D$ прибавить координаты вектора $\vec{AA_1}$.

$D_1 = D + \vec{AA_1} = (6; 0; 1) + (2; 3; -1) = (6+2; 0+3; 1+(-1)) = (8; 3; 0)$.

Ответ: $D_1(8; 3; 0)$

Нахождение координат вершины C₁

Для нахождения координат $C_1$ воспользуемся равенством $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$. К координатам найденной ранее точки $C$ прибавим координаты вектора $\vec{AA_1}$.

$C_1 = C + \vec{AA_1} = (5; 4; 4) + (2; 3; -1) = (5+2; 4+3; 4+(-1)) = (7; 7; 3)$.

Ответ: $C_1(7; 7; 3)$