Номер 1.31, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.31. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (4; 2; 10)$, $B (10; -2; 8)$, $C (4; -4; 4)$ и $D (-2; 0; 6)$ является ромбом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является ромбом, необходимо и достаточно показать, что все его стороны имеют одинаковую длину. Для этого найдём длины сторон, используя формулу расстояния между двумя точками $M_1(x_1; y_1; z_1)$ и $M_2(x_2; y_2; z_2)$ в пространстве:

$d = |M_1M_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Даны вершины четырёхугольника: A(4; 2; 10), B(10; -2; 8), C(4; -4; 4) и D(-2; 0; 6).

Вычисление длины стороны AB

Найдём расстояние между точками A(4; 2; 10) и B(10; -2; 8):

$|AB| = \sqrt{(10 - 4)^2 + (-2 - 2)^2 + (8 - 10)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}$

Вычисление длины стороны BC

Найдём расстояние между точками B(10; -2; 8) и C(4; -4; 4):

$|BC| = \sqrt{(4 - 10)^2 + (-4 - (-2))^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56}$

Вычисление длины стороны CD

Найдём расстояние между точками C(4; -4; 4) и D(-2; 0; 6):

$|CD| = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (0 - (-4))^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}$

Вычисление длины стороны DA

Найдём расстояние между точками D(-2; 0; 6) и A(4; 2; 10):

$|DA| = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (2 - 0)^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56}$

Поскольку длины всех сторон четырёхугольника равны между собой: $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{56}$, то по определению данный четырёхугольник является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как все стороны четырёхугольника ABCD равны $\sqrt{56}$.