Номер 1.32, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.32. Найдите точку, принадлежащую плоскости $yz$ и равноудалённую от точек $A(2; 1; -3)$, $B(3; 2; -2)$ и $C(4; -3; -1)$.

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x; y; z)$.

По условию, точка $M$ принадлежит плоскости $yz$. Уравнение плоскости $yz$ - это $x=0$. Следовательно, координаты точки $M$ имеют вид $(0; y; z)$.

Также по условию, точка $M$ равноудалена от точек $A(2; 1; -3)$, $B(3; 2; -2)$ и $C(4; -3; -1)$. Это означает, что расстояния от $M$ до этих точек равны: $|MA| = |MB| = |MC|$.

Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $|MA|^2 = |MB|^2 = |MC|^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ выглядит так: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Вычислим квадраты расстояний от точки $M(0; y; z)$ до точек A, B и C:
$|MA|^2 = (0-2)^2 + (y-1)^2 + (z-(-3))^2 = 4 + (y-1)^2 + (z+3)^2 = 4 + y^2 - 2y + 1 + z^2 + 6z + 9 = y^2 + z^2 - 2y + 6z + 14$.
$|MB|^2 = (0-3)^2 + (y-2)^2 + (z-(-2))^2 = 9 + (y-2)^2 + (z+2)^2 = 9 + y^2 - 4y + 4 + z^2 + 4z + 4 = y^2 + z^2 - 4y + 4z + 17$.
$|MC|^2 = (0-4)^2 + (y-(-3))^2 + (z-(-1))^2 = 16 + (y+3)^2 + (z+1)^2 = 16 + y^2 + 6y + 9 + z^2 + 2z + 1 = y^2 + z^2 + 6y + 2z + 26$.

Приравняем выражения для $|MA|^2$ и $|MB|^2$, а также для $|MB|^2$ и $|MC|^2$, чтобы составить систему уравнений.

1) $|MA|^2 = |MB|^2$
$y^2 + z^2 - 2y + 6z + 14 = y^2 + z^2 - 4y + 4z + 17$
Сокращаем $y^2$ и $z^2$:
$-2y + 6z + 14 = -4y + 4z + 17$
$2y + 2z = 3$

2) $|MB|^2 = |MC|^2$
$y^2 + z^2 - 4y + 4z + 17 = y^2 + z^2 + 6y + 2z + 26$
Сокращаем $y^2$ и $z^2$:
$-4y + 4z + 17 = 6y + 2z + 26$
$-10y + 2z = 9$

Теперь решим полученную систему линейных уравнений с двумя переменными $y$ и $z$:
$\begin{cases} 2y + 2z = 3 \\ -10y + 2z = 9 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(2y + 2z) - (-10y + 2z) = 3 - 9$
$12y = -6$
$y = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $z$:
$2(-\frac{1}{2}) + 2z = 3$
$-1 + 2z = 3$
$2z = 4$
$z = 2$

Таким образом, мы нашли координаты искомой точки $M$: $x=0$, $y=-1/2$, $z=2$.

Ответ: $(0; -0,5; 2)$.