Номер 1.28, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.28. На отрезке $AB$ отметили точки $C$ и $D$, делящие его на три равные части, точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$. Найдите координаты точки $B$, если $A (-14; 5; -8)$, $D (7; -7; 2)$.

По условию задачи, точки C и D делят отрезок AB на три равные части. Поскольку точка C лежит между точками A и D, порядок расположения точек на отрезке следующий: A, C, D, B. Это означает, что длины отрезков AC, CD и DB равны между собой: $AC = CD = DB$.

В векторной форме это можно записать как равенство сонаправленных векторов: $\vec{AC} = \vec{CD} = \vec{DB}$.

Рассмотрим вектор $\vec{AD}$. Он является суммой векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$:$\vec{AD} = \vec{AC} + \vec{CD}$. Так как $\vec{AC} = \vec{CD}$, мы можем заменить $\vec{AC}$ на $\vec{CD}$ и получить:$\vec{AD} = \vec{CD} + \vec{CD} = 2\vec{CD}$.

Из этого соотношения выразим вектор $\vec{CD}$:$\vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Поскольку $\vec{DB} = \vec{CD}$, мы можем сделать вывод, что:$\vec{DB} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Это ключевое соотношение позволяет найти координаты точки B. Для этого выполним следующие действия:

1. Находим координаты вектора $\vec{AD}$

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала. Имея координаты точек $A(-14; 5; -8)$ и $D(7; -7; 2)$, вычисляем:$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (7 - (-14); -7 - 5; 2 - (-8)) = (21; -12; 10)$.

2. Находим координаты вектора $\vec{DB}$

Используя соотношение $\vec{DB} = \frac{1}{2}\vec{AD}$ и найденные координаты вектора $\vec{AD}$, получаем:$\vec{DB} = \frac{1}{2}(21; -12; 10) = (\frac{21}{2}; \frac{-12}{2}; \frac{10}{2}) = (10.5; -6; 5)$.

3. Находим координаты точки B

Пусть точка B имеет координаты $(x_B; y_B; z_B)$. Координаты вектора $\vec{DB}$ также можно выразить через координаты его начальной точки D и конечной точки B:$\vec{DB} = (x_B - x_D; y_B - y_D; z_B - z_D)$.

Приравнивая это выражение к найденным ранее координатам вектора $\vec{DB}$ и подставляя известные координаты точки $D(7; -7; 2)$, получаем систему уравнений:$x_B - 7 = 10.5$$y_B - (-7) = -6$$z_B - 2 = 5$

Решая эти уравнения, находим искомые координаты точки B:$x_B = 10.5 + 7 = 17.5$$y_B = -6 - 7 = -13$$z_B = 5 + 2 = 7$

Следовательно, координаты точки B равны $(17.5; -13; 7)$.

Ответ: $B(17.5; -13; 7)$.