Номер 1.23, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.23. Точка $M$ принадлежит отрезку $AB$ и делит его в отношении $1 : 2$, считая от точки $A$. Найдите координаты точки $B$, если $A (4; -6; 0)$, $M (3; -2; -3)$.

Пусть искомая точка $B$ имеет координаты $(x_B, y_B, z_B)$.

По условию, точка $M(3; -2; -3)$ делит отрезок $AB$, где $A(4; -6; 0)$, в отношении $AM : MB = 1 : 2$. Это означает, что коэффициент деления $\lambda = \frac{AM}{MB} = \frac{1}{2}$.

Координаты точки $M$, которая делит отрезок $AB$ с концами в точках $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$ в отношении $\lambda$, вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda}$

$y_M = \frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda}$

$z_M = \frac{z_A + \lambda z_B}{1 + \lambda}$

Для того чтобы найти координаты точки $B$, необходимо выразить $x_B$, $y_B$ и $z_B$ из данных формул:

$x_M(1 + \lambda) = x_A + \lambda x_B \implies \lambda x_B = x_M(1 + \lambda) - x_A \implies x_B = \frac{x_M(1 + \lambda) - x_A}{\lambda}$

Аналогично для других координат:

$y_B = \frac{y_M(1 + \lambda) - y_A}{\lambda}$

$z_B = \frac{z_M(1 + \lambda) - z_A}{\lambda}$

Подставим известные значения: $A(4; -6; 0)$, $M(3; -2; -3)$ и $\lambda = \frac{1}{2}$.

Вычислим координату $x_B$:
$x_B = \frac{3 \cdot (1 + \frac{1}{2}) - 4}{\frac{1}{2}} = \frac{3 \cdot \frac{3}{2} - 4}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{2} - \frac{8}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$

Вычислим координату $y_B$:
$y_B = \frac{-2 \cdot (1 + \frac{1}{2}) - (-6)}{\frac{1}{2}} = \frac{-2 \cdot \frac{3}{2} + 6}{\frac{1}{2}} = \frac{-3 + 6}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$

Вычислим координату $z_B$:
$z_B = \frac{-3 \cdot (1 + \frac{1}{2}) - 0}{\frac{1}{2}} = \frac{-3 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{9}{2}}{\frac{1}{2}} = -9$

Таким образом, координаты искомой точки $B$ равны $(1; 6; -9)$.

Ответ: $B(1; 6; -9)$