Номер 1.30, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.30. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2; 3; -1)$, $B(-2; 7; -6)$, $C(-1; 7; -6)$ и $D(-1; 3; -1)$ является прямоугольником.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, достаточно показать, что это параллелограмм, у которого смежные стороны перпендикулярны. Для этого воспользуемся методами векторной алгебры.

Даны координаты вершин четырёхугольника:

A(-2; 3; -1)

B(-2; 7; -6)

C(-1; 7; -6)

D(-1; 3; -1)

Сначала найдём координаты векторов, соответствующих сторонам четырёхугольника. Координаты вектора $\vec{XY}$ находятся как разность координат его конца и начала: $\vec{XY} = (x_Y - x_X; y_Y - y_X; z_Y - z_X)$.

Найдём координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{AB} = (-2 - (-2); 7 - 3; -6 - (-1)) = (0; 4; -5)$

$\vec{DC} = (-1 - (-1); 7 - 3; -6 - (-1)) = (0; 4; -5)$

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ имеют одинаковые координаты, они равны ($\vec{AB} = \vec{DC}$). Это означает, что противоположные стороны AB и DC параллельны и равны по длине. Следовательно, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Теперь проверим, являются ли смежные стороны, например AB и AD, перпендикулярными. Для этого найдём координаты вектора $\vec{AD}$ и вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Если скалярное произведение равно нулю, то стороны перпендикулярны.

Найдём координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (-1 - (-2); 3 - 3; -1 - (-1)) = (1; 0; 0)$

Скалярное произведение векторов $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$ и $\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + (-5) \cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны, а значит, угол между сторонами AB и AD прямой ($\angle DAB = 90^\circ$).

Поскольку ABCD — это параллелограмм с прямым углом, он по определению является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано.