Номер 1.34, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.34. Точки $D(-1; 2; 4)$, $E(5; -2; 1)$ и $F(3; -3; 5)$ являются серединами сторон некоторого треугольника. Найдите вершины этого треугольника.

Пусть вершины искомого треугольника имеют координаты $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$ и $C(x_C, y_C, z_C)$.

По условию, точки $D(-1; 2; 4)$, $E(5; -2; 1)$ и $F(3; -3; 5)$ являются серединами его сторон. Пусть $D$ – середина стороны $AB$, $E$ – середина стороны $BC$, а $F$ – середина стороны $AC$.

Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Исходя из этого, мы можем составить систему уравнений.

Для точки $D$ – середины $AB$:

$\frac{x_A + x_B}{2} = -1 \Rightarrow x_A + x_B = -2$

$\frac{y_A + y_B}{2} = 2 \Rightarrow y_A + y_B = 4$

$\frac{z_A + z_B}{2} = 4 \Rightarrow z_A + z_B = 8$

Для точки $E$ – середины $BC$:

$\frac{x_B + x_C}{2} = 5 \Rightarrow x_B + x_C = 10$

$\frac{y_B + y_C}{2} = -2 \Rightarrow y_B + y_C = -4$

$\frac{z_B + z_C}{2} = 1 \Rightarrow z_B + z_C = 2$

Для точки $F$ – середины $AC$:

$\frac{x_A + x_C}{2} = 3 \Rightarrow x_A + x_C = 6$

$\frac{y_A + y_C}{2} = -3 \Rightarrow y_A + y_C = -6$

$\frac{z_A + z_C}{2} = 5 \Rightarrow z_A + z_C = 10$

Теперь у нас есть три независимые системы уравнений для каждой из координат.

Система уравнений для координат $x$:

$\begin{cases} x_A + x_B = -2 \\ x_B + x_C = 10 \\ x_A + x_C = 6 \end{cases}$

Сложим все три уравнения: $(x_A + x_B) + (x_B + x_C) + (x_A + x_C) = -2 + 10 + 6$.

$2x_A + 2x_B + 2x_C = 14$, что можно упростить до $x_A + x_B + x_C = 7$.

Теперь, вычитая из этого уравнения каждое из исходных, найдем координаты:

$x_C = (x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_B) = 7 - (-2) = 9$.

$x_A = (x_A + x_B + x_C) - (x_B + x_C) = 7 - 10 = -3$.

$x_B = (x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_C) = 7 - 6 = 1$.

Система уравнений для координат $y$:

$\begin{cases} y_A + y_B = 4 \\ y_B + y_C = -4 \\ y_A + y_C = -6 \end{cases}$

Сложим все три уравнения: $(y_A + y_B) + (y_B + y_C) + (y_A + y_C) = 4 - 4 - 6$.

$2y_A + 2y_B + 2y_C = -6$, что можно упростить до $y_A + y_B + y_C = -3$.

Найдем координаты:

$y_C = (y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_B) = -3 - 4 = -7$.

$y_A = (y_A + y_B + y_C) - (y_B + y_C) = -3 - (-4) = 1$.

$y_B = (y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_C) = -3 - (-6) = 3$.

Система уравнений для координат $z$:

$\begin{cases} z_A + z_B = 8 \\ z_B + z_C = 2 \\ z_A + z_C = 10 \end{cases}$

Сложим все три уравнения: $(z_A + z_B) + (z_B + z_C) + (z_A + z_C) = 8 + 2 + 10$.

$2z_A + 2z_B + 2z_C = 20$, что можно упростить до $z_A + z_B + z_C = 10$.

Найдем координаты:

$z_C = (z_A + z_B + z_C) - (z_A + z_B) = 10 - 8 = 2$.

$z_A = (z_A + z_B + z_C) - (z_B + z_C) = 10 - 2 = 8$.

$z_B = (z_A + z_B + z_C) - (z_A + z_C) = 10 - 10 = 0$.

Таким образом, координаты вершин треугольника:

$A(-3; 1; 8)$, $B(1; 3; 0)$, $C(9; -7; 2)$.

Ответ: $(-3; 1; 8)$, $(1; 3; 0)$, $(9; -7; 2)$.