Номер 1.36, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.36. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. Найдите координаты точки $K$, если $A(5; 3; -4)$, $B(2; -1; -4)$, $C(-7; 3; 1)$.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $AK$ в треугольнике $ABC$ это свойство записывается в виде соотношения:
$ \frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC} $

Сначала найдем длины сторон $AB$ и $AC$, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.
Даны координаты вершин: $A(5; 3; -4)$, $B(2; -1; -4)$ и $C(-7; 3; 1)$.
Длина стороны $AB$:
$ AB = \sqrt{(2-5)^2 + (-1-3)^2 + (-4 - (-4))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $.
Длина стороны $AC$:
$ AC = \sqrt{(-7-5)^2 + (3-3)^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{(-12)^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 $.

Теперь мы можем найти отношение, в котором точка $K$ делит отрезок $BC$:
$ \frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{13} $.

Координаты точки $K(x_K; y_K; z_K)$, которая делит отрезок, соединяющий точки $B(x_B; y_B; z_B)$ и $C(x_C; y_C; z_C)$ в отношении $m:n$ (в данном случае $5:13$), вычисляются по формулам:
$ x_K = \frac{n \cdot x_B + m \cdot x_C}{m+n} $
$ y_K = \frac{n \cdot y_B + m \cdot y_C}{m+n} $
$ z_K = \frac{n \cdot z_B + m \cdot z_C}{m+n} $
Подставим координаты точек $B(2; -1; -4)$, $C(-7; 3; 1)$ и значения $m=5$, $n=13$:
$ x_K = \frac{13 \cdot 2 + 5 \cdot (-7)}{13+5} = \frac{26 - 35}{18} = \frac{-9}{18} = -\frac{1}{2} $.
$ y_K = \frac{13 \cdot (-1) + 5 \cdot 3}{13+5} = \frac{-13 + 15}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} $.
$ z_K = \frac{13 \cdot (-4) + 5 \cdot 1}{13+5} = \frac{-52 + 5}{18} = -\frac{47}{18} $.

Таким образом, координаты точки $K$ равны $ (-\frac{1}{2}; \frac{1}{9}; -\frac{47}{18}) $.

Ответ: $K(-\frac{1}{2}; \frac{1}{9}; -\frac{47}{18})$.