Номер 1.38, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.38. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6 см. Найдите расстояние от середины ребра $B_1C_1$ до точки пересечения медиан треугольника $BA_1D$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину A куба в начало координат (0;0;0). Направим ось Ox вдоль ребра AD, ось Oy вдоль ребра AB, и ось Oz вдоль ребра $AA_1$. Поскольку длина ребра куба равна 6 см, координаты вершин, необходимых для решения, будут следующими:

• B(0; 6; 0)
• D(6; 0; 0)
• $A_1$(0; 0; 6)
• $B_1$(0; 6; 6)
• $C_1$(6; 6; 6)

Сначала найдем координаты точки, являющейся серединой ребра $B_1C_1$. Обозначим эту точку как K. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов:

$K = \left( \frac{x_{B_1} + x_{C_1}}{2}; \frac{y_{B_1} + y_{C_1}}{2}; \frac{z_{B_1} + z_{C_1}}{2} \right)$

$K = \left( \frac{0 + 6}{2}; \frac{6 + 6}{2}; \frac{6 + 6}{2} \right) = (3; 6; 6)$

Далее найдем координаты точки пересечения медиан (центроида) треугольника $BA_1D$. Обозначим эту точку как M. Координаты центроида треугольника вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его вершин:

$M = \left( \frac{x_B + x_{A_1} + x_D}{3}; \frac{y_B + y_{A_1} + y_D}{3}; \frac{z_B + z_{A_1} + z_D}{3} \right)$

$M = \left( \frac{0 + 0 + 6}{3}; \frac{6 + 0 + 0}{3}; \frac{0 + 6 + 0}{3} \right) = (2; 2; 2)$

Теперь, имея координаты обеих точек K(3; 6; 6) и M(2; 2; 2), мы можем найти расстояние между ними по формуле расстояния в пространстве:

$d = \sqrt{(x_M - x_K)^2 + (y_M - y_K)^2 + (z_M - z_K)^2}$

$d = \sqrt{(2 - 3)^2 + (2 - 6)^2 + (2 - 6)^2}$

$d = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + (-4)^2}$

$d = \sqrt{1 + 16 + 16} = \sqrt{33}$

Таким образом, искомое расстояние равно $\sqrt{33}$ см.

Ответ: $\sqrt{33}$ см.