Номер 1.42, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.42. Дан прямоугольник $ABCD$. Докажите, что для любой точки $X$ пространства выполняется равенство $XA^2 + XC^2 = XB^2 + XD^2$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом координат. Введем трехмерную декартову систему координат так, чтобы вершина $A$ прямоугольника $ABCD$ совпадала с началом координат, а стороны $AB$ и $AD$ лежали на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны, что делает такой выбор системы координат возможным. Весь прямоугольник будет лежать в плоскости $z=0$.

Пусть длина стороны $AB$ равна $a$, а длина стороны $AD$ равна $b$. Тогда координаты вершин прямоугольника будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $D(0, b, 0)$
• $C(a, b, 0)$

Пусть $X$ — произвольная точка пространства с координатами $(x, y, z)$.

Квадрат расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ равен $(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$. Используя эту формулу, найдем квадраты расстояний от точки $X$ до каждой из вершин прямоугольника:

• $XA^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = x^2 + y^2 + z^2$
• $XB^2 = (x-a)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = (x-a)^2 + y^2 + z^2$
• $XC^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-0)^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 + z^2$
• $XD^2 = (x-0)^2 + (y-b)^2 + (z-0)^2 = x^2 + (y-b)^2 + z^2$

Теперь подставим эти выражения в доказываемое равенство $XA^2 + XC^2 = XB^2 + XD^2$.

Рассмотрим левую часть равенства:

$XA^2 + XC^2 = (x^2 + y^2 + z^2) + ((x-a)^2 + (y-b)^2 + z^2)$

Раскрыв скобки, получим:

$XA^2 + XC^2 = x^2 + y^2 + z^2 + x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 + z^2$

$XA^2 + XC^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

Рассмотрим правую часть равенства:

$XB^2 + XD^2 = ((x-a)^2 + y^2 + z^2) + (x^2 + (y-b)^2 + z^2)$

Раскрыв скобки, получим:

$XB^2 + XD^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + z^2 + x^2 + y^2 - 2by + b^2 + z^2$

$XB^2 + XD^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они тождественно равны. Следовательно, равенство $XA^2 + XC^2 = XB^2 + XD^2$ выполняется для любой точки $X$ в пространстве, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.