Номер 2.1, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.1. На рисунке 2.10 изображена правильная призма $ABCA_1B_1C_1$. Равны ли векторы:

1) $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$;

2) $\vec{AC}$ и $\vec{A_1B_1}$;

3) $\vec{BB_1}$ и $\vec{C_1C}$;

4) $\vec{BB_1}$ и $\vec{AA_1}$?

Рис. 2.10

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны. В правильной призме $ABCA_1B_1C_1$ основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равными правильными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны основаниям и равны между собой.

1) $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$

Вектор $\vec{A_1C_1}$ получается из вектора $\vec{AC}$ путем параллельного переноса на вектор $\vec{AA_1}$. При параллельном переносе вектор переходит в равный ему вектор. Следовательно, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$ сонаправлены (так как прямые $AC$ и $A_1C_1$ параллельны, и направления от $A$ к $C$ и от $A_1$ к $C_1$ совпадают при переносе) и их длины равны ($|AC| = |A_1C_1|$, так как основания призмы равны). Таким образом, $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$.

Ответ: да, равны.

2) $\vec{AC}$ и $\vec{A_1B_1}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{A_1B_1}$ не коллинеарны, так как прямые $AC$ и $A_1B_1$ не параллельны. В основании $A_1B_1C_1$ (правильный треугольник) стороны $A_1C_1$ и $A_1B_1$ пересекаются. Так как прямая $AC$ параллельна прямой $A_1C_1$, то прямая $AC$ также не параллельна прямой $A_1B_1$. Поскольку векторы не коллинеарны, они не могут быть равны.

Ответ: нет, не равны.

3) $\vec{BB_1}$ и $\vec{C_1C}$

Боковые ребра правильной призмы $BB_1$ и $CC_1$ параллельны и равны по длине. Значит, векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{C_1C}$ коллинеарны и их модули равны: $|\vec{BB_1}| = |\vec{C_1C}|$. Однако вектор $\vec{BB_1}$ направлен от нижнего основания к верхнему, а вектор $\vec{C_1C}$ — от верхнего основания к нижнему. Таким образом, они противоположно направлены. Векторы, имеющие противоположные направления, не равны. В данном случае $\vec{BB_1} = -\vec{CC_1}$, а значит $\vec{BB_1} \neq \vec{C_1C}$.

Ответ: нет, не равны.

4) $\vec{BB_1}$ и $\vec{AA_1}$

Боковые ребра правильной призмы $AA_1$ и $BB_1$ параллельны и равны по длине. Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ направлены в одну и ту же сторону (от нижнего основания $ABC$ к верхнему $A_1B_1C_1$). Следовательно, векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{AA_1}$ сонаправлены и их длины равны. Таким образом, $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$.

Ответ: да, равны.