Страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Как обозначают вектор с началом в точке A и концом в точке B?

2. Какой вектор называют нулевым?

3. Что называют модулем вектора?

4. Какие векторы называют коллинеарными?

5. Как обозначают сонаправленные векторы? противоположно направленные векторы?

6. Какие два ненулевых вектора называют равными?

7. Какие векторы называют компланарными?

8. Поясните, что называют координатами данного вектора.

9. Что можно сказать о координатах равных векторов?

10. Что можно сказать о векторах, соответствующие координаты которых равны?

11. Как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?

12. Как найти модуль вектора, если известны его координаты?

13. Какое преобразование фигуры F называют параллельным переносом на вектор $\vec{a}$?

1. Как обозначают вектор с началом в точке A и концом в точке B? Вектор, у которого точка $A$ является началом, а точка $B$ – концом, обозначается как $\vec{AB}$. Также векторы часто обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней, например, $\vec{a}$. Ответ:

2. Какой вектор называют нулевым? Нулевым вектором (или нуль-вектором) называют вектор, у которого начало и конец совпадают, например, $\vec{AA}$. Длина (модуль) нулевого вектора равна нулю, а направление считается неопределенным. Обозначается он символом $\vec{0}$. Ответ:

3. Что называют модулем вектора? Модулем или длиной вектора называют длину отрезка, который изображает этот вектор. Модуль вектора $\vec{a}$ обозначают как $|\vec{a}|$, а модуль вектора $\vec{AB}$ — как $|\vec{AB}|$. Модуль любого вектора является неотрицательной величиной. Ответ:

4. Какие векторы называют коллинеарными? Коллинеарными называют два ненулевых вектора, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор по определению считается коллинеарным любому вектору. Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то один из них можно выразить через другой с помощью скалярного множителя $k$: $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Ответ:

5. Как обозначают сонаправленные векторы? противоположно направленные векторы? Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление. Такое отношение обозначается знаком $\uparrow\uparrow$, например, $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. Противоположно направленные векторы — это коллинеарные векторы, имеющие противоположные направления. Это обозначается знаком $\uparrow\downarrow$, например, $\vec{c} \uparrow\downarrow \vec{d}$. Ответ:

6. Какие два ненулевых вектора называют равными? Два ненулевых вектора называют равными, если они сонаправлены и их модули (длины) равны. Таким образом, равенство векторов $\vec{a} = \vec{b}$ означает выполнение двух условий одновременно: 1) $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ (сонаправленность); 2) $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ (равенство модулей). Ответ:

7. Какие векторы называют компланарными? Векторы называют компланарными, если при откладывании их от одной точки они лежат в одной плоскости. Другими словами, существуют параллельные прямые, на которых лежат эти векторы, и все эти прямые параллельны некоторой одной плоскости. Любые два вектора всегда компланарны. Три вектора являются компланарными, если их смешанное произведение равно нулю. Ответ:

8. Поясните, что называют координатами данного вектора. Координатами вектора в какой-либо системе координат (например, в декартовой) называют коэффициенты его разложения по базисным векторам. Для трехмерного пространства с базисными векторами $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$, направленными вдоль осей $Ox, Oy, Oz$, любой вектор $\vec{a}$ можно единственным образом представить в виде $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. Числа $x, y, z$ и называются координатами вектора $\vec{a}$ и записываются как $\vec{a} = (x, y, z)$. Ответ:

9. Что можно сказать о координатах равных векторов? У равных векторов соответствующие координаты равны. Если даны два вектора $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$, и при этом $\vec{a} = \vec{b}$, то обязательно выполняются равенства: $x_1 = x_2$, $y_1 = y_2$ и $z_1 = z_2$. Ответ:

10. Что можно сказать о векторах, соответствующие координаты которых равны? Если соответствующие координаты двух векторов равны, то эти векторы равны. Это утверждение, обратное предыдущему. Если для векторов $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ известно, что $x_1 = x_2$, $y_1 = y_2$ и $z_1 = z_2$, то можно сделать вывод, что $\vec{a} = \vec{b}$. Ответ:

11. Как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца? Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала. Если вектор $\vec{AB}$ задан координатами своего начала $A(x_1, y_1, z_1)$ и конца $B(x_2, y_2, z_2)$, то его координаты вычисляются по формулам: $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$. Ответ:

12. Как найти модуль вектора, если известны его координаты? Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат. Если вектор задан в пространстве своими координатами $\vec{a} = (x, y, z)$, то его модуль $|\vec{a}|$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Для вектора на плоскости $\vec{a} = (x, y)$ формула имеет вид: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Ответ:

13. Какое преобразование фигуры F называют параллельным переносом на вектор $\vec{a}$? Параллельным переносом фигуры $F$ на вектор $\vec{a}$ называют такое преобразование пространства, при котором каждая точка $M$ фигуры $F$ отображается на такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен заданному вектору $\vec{a}$ ($\vec{MM'} = \vec{a}$). Это означает, что все точки фигуры смещаются в одном направлении на одно и то же расстояние. Ответ:

2.1. На рисунке 2.10 изображена правильная призма $ABCA_1B_1C_1$. Равны ли векторы:

1) $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$;

2) $\vec{AC}$ и $\vec{A_1B_1}$;

3) $\vec{BB_1}$ и $\vec{C_1C}$;

4) $\vec{BB_1}$ и $\vec{AA_1}$?

Рис. 2.10

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны. В правильной призме $ABCA_1B_1C_1$ основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равными правильными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны основаниям и равны между собой.

1) $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$

Вектор $\vec{A_1C_1}$ получается из вектора $\vec{AC}$ путем параллельного переноса на вектор $\vec{AA_1}$. При параллельном переносе вектор переходит в равный ему вектор. Следовательно, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{A_1C_1}$ сонаправлены (так как прямые $AC$ и $A_1C_1$ параллельны, и направления от $A$ к $C$ и от $A_1$ к $C_1$ совпадают при переносе) и их длины равны ($|AC| = |A_1C_1|$, так как основания призмы равны). Таким образом, $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$.

Ответ: да, равны.

2) $\vec{AC}$ и $\vec{A_1B_1}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{A_1B_1}$ не коллинеарны, так как прямые $AC$ и $A_1B_1$ не параллельны. В основании $A_1B_1C_1$ (правильный треугольник) стороны $A_1C_1$ и $A_1B_1$ пересекаются. Так как прямая $AC$ параллельна прямой $A_1C_1$, то прямая $AC$ также не параллельна прямой $A_1B_1$. Поскольку векторы не коллинеарны, они не могут быть равны.

Ответ: нет, не равны.

3) $\vec{BB_1}$ и $\vec{C_1C}$

Боковые ребра правильной призмы $BB_1$ и $CC_1$ параллельны и равны по длине. Значит, векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{C_1C}$ коллинеарны и их модули равны: $|\vec{BB_1}| = |\vec{C_1C}|$. Однако вектор $\vec{BB_1}$ направлен от нижнего основания к верхнему, а вектор $\vec{C_1C}$ — от верхнего основания к нижнему. Таким образом, они противоположно направлены. Векторы, имеющие противоположные направления, не равны. В данном случае $\vec{BB_1} = -\vec{CC_1}$, а значит $\vec{BB_1} \neq \vec{C_1C}$.

Ответ: нет, не равны.

4) $\vec{BB_1}$ и $\vec{AA_1}$

Боковые ребра правильной призмы $AA_1$ и $BB_1$ параллельны и равны по длине. Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ направлены в одну и ту же сторону (от нижнего основания $ABC$ к верхнему $A_1B_1C_1$). Следовательно, векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{AA_1}$ сонаправлены и их длины равны. Таким образом, $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$.

Ответ: да, равны.

2.2. Могут ли быть равными векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$?

Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление (сонаправлены). Проанализируем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ с точки зрения этих двух условий.

Длина. Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине отрезка AB: $|\vec{AB}| = |AB|$. Длина вектора $\vec{BA}$ равна длине отрезка BA: $|\vec{BA}| = |BA|$. Поскольку длина отрезка не зависит от порядка его конечных точек, $|AB| = |BA|$. Таким образом, длины векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ всегда равны.

Направление. Вектор $\vec{AB}$ направлен от точки A к точке B. Вектор $\vec{BA}$ направлен от точки B к точке A. Чтобы векторы были равны, их направления должны совпадать.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если точки A и B не совпадают ($A \neq B$), то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ имеют прямо противоположные направления. Следовательно, они не равны. В геометрии такие векторы называются противоположными, и для них справедливо равенство $\vec{AB} = -\vec{BA}$.

2. Если точки A и B совпадают ($A = B$), то вектор $\vec{AB}$ представляет собой вектор $\vec{AA}$, у которого начало и конец совпадают. Это нулевой вектор, обозначаемый как $\vec{0}$. Его длина равна нулю. Аналогично, вектор $\vec{BA}$ также становится нулевым вектором $\vec{BB}$ (что то же самое, что и $\vec{AA}$), который также равен $\vec{0}$. В этом единственном случае оба вектора равны друг другу: $\vec{AB} = \vec{BA} = \vec{0}$.

Таким образом, равенство $\vec{AB} = \vec{BA}$ выполняется только тогда, когда точки A и B совпадают.

Ответ: Да, могут, но только в одном случае: если точки A и B совпадают. При этом оба вектора становятся нулевыми векторами ($\vec{AB} = \vec{BA} = \vec{0}$).

2.3. Точки E и F — середины соответственно рёбер $AA_1$ и $AD$ прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 2.11), $AB \neq AD$. Укажите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:

1) сонаправлены с вектором $\vec{EF}$;

2) противоположно направлены с вектором $\vec{AB_1}$;

Рис. 2.11

1) сонаправлены с вектором $\vec{EF}$

Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону. Это означает, что один вектор можно выразить через другой умножением на положительное число.

Выразим вектор $\vec{EF}$ через векторы, отложенные от вершины $A$. Так как точка $E$ — середина ребра $AA_1$, то $\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AA_1}$. Так как точка $F$ — середина ребра $AD$, то $\vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

По правилу вычитания векторов: $\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AA_1})$.

Рассмотрим вектор $\vec{A_1D}$. По правилу треугольника для векторов: $\vec{A_1D} = \vec{AD} - \vec{AA_1}$.

Сравнивая выражения для $\vec{EF}$ и $\vec{A_1D}$, получаем: $\vec{EF} = \frac{1}{2}\vec{A_1D}$. Поскольку коэффициент $\frac{1}{2}$ положителен, векторы $\vec{EF}$ и $\vec{A_1D}$ сонаправлены.

Теперь найдем другие векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равные вектору $\vec{A_1D}$. Вектор $\vec{A_1D}$ является диагональю боковой грани $ADD_1A_1$. В параллельной ей грани $BCC_1B_1$ соответствующей диагональю является вектор $\vec{B_1C}$. В параллелепипеде векторы, соединяющие соответственные вершины параллельных граней, равны, поэтому $\vec{A_1D} = \vec{B_1C}$.

Следовательно, векторы $\vec{A_1D}$ и $\vec{B_1C}$ сонаправлены с вектором $\vec{EF}$.

Ответ: $\vec{A_1D}$, $\vec{B_1C}$.

2) противоположно направлены с вектором $\vec{AB_1}$

Два вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарны и направлены в разные стороны. Это означает, что один вектор можно выразить через другой умножением на отрицательное число.

Вектор, противоположный вектору $\vec{AB_1}$, с теми же концами — это вектор $\vec{B_1A}$, так как $\vec{B_1A} = -1 \cdot \vec{AB_1}$.

Теперь найдем другие векторы, равные вектору $\vec{B_1A}$. Для этого сначала найдем векторы, равные $\vec{AB_1}$. Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю грани $ABB_1A_1$. В параллельной ей грани $DCC_1D_1$ ему равен вектор $\vec{DC_1}$.

Проверим это равенство, разложив векторы по ребрам, выходящим из одной вершины: $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$. $\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$. По свойству параллелепипеда $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$, следовательно, $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$.

Вектор, противоположно направленный вектору $\vec{DC_1}$, это $\vec{C_1D}$. Так как $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$, то $\vec{C_1D} = -\vec{DC_1} = -\vec{AB_1}$.

Таким образом, векторы $\vec{B_1A}$ и $\vec{C_1D}$ противоположно направлены вектору $\vec{AB_1}$.

Ответ: $\vec{B_1A}$, $\vec{C_1D}$.