Страница 11 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.8. Укажите координаты проекции точки $M (-3; 2; 4)$ на координатную плоскость:

1) $xz$;

2) $yz$;

3) $xy$.

Проекция точки на координатную плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Для нахождения координат проекции точки $M(x_0; y_0; z_0)$ на одну из координатных плоскостей, необходимо обнулить координату, соответствующую оси, перпендикулярной этой плоскости. Исходная точка: $M(-3; 2; 4)$.

1) xz;
Координатной плоскости $xz$ перпендикулярна ось $y$. Чтобы найти проекцию точки на плоскость $xz$, нужно координату $y$ приравнять к нулю, а остальные координаты ($x$ и $z$) оставить без изменений.
Таким образом, проекция точки $M(-3; 2; 4)$ на плоскость $xz$ — это точка с координатами $(-3; 0; 4)$.
Ответ: $(-3; 0; 4)$

2) yz;
Координатной плоскости $yz$ перпендикулярна ось $x$. Чтобы найти проекцию точки на плоскость $yz$, нужно координату $x$ приравнять к нулю, а остальные координаты ($y$ и $z$) оставить без изменений.
Таким образом, проекция точки $M(-3; 2; 4)$ на плоскость $yz$ — это точка с координатами $(0; 2; 4)$.
Ответ: $(0; 2; 4)$

3) xy.
Координатной плоскости $xy$ перпендикулярна ось $z$. Чтобы найти проекцию точки на плоскость $xy$, нужно координату $z$ приравнять к нулю, а остальные координаты ($x$ и $y$) оставить без изменений.
Таким образом, проекция точки $M(-3; 2; 4)$ на плоскость $xy$ — это точка с координатами $(-3; 2; 0)$.
Ответ: $(-3; 2; 0)$

1.9. Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположен в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 1.8. Точка A имеет координаты $(1; -1; 0)$. Найдите координаты остальных вершин куба.

Рис. 1.8

Для нахождения координат остальных вершин куба воспользуемся данными о координатах точки A и информацией из рисунка.

Задана вершина A с координатами (1; -1; 0). Из рисунка и нулевой z-координаты точки A следует, что основание куба ABCD лежит в плоскости $xy$. Также из рисунка видно, что центр этого основания, точка O, совпадает с началом координат (0; 0; 0), а ребра куба параллельны осям координат.

Сначала определим длину ребра куба $a$. Расстояние от центра квадрата (точки O) до его вершины (точки A) равно: $OA = \sqrt{(1-0)^2 + (-1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. Это расстояние составляет половину диагонали квадрата ABCD. Таким образом, длина диагонали $d = 2 \cdot OA = 2\sqrt{2}$. Диагональ квадрата связана с его стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$. Приравнивая выражения для диагонали, получаем: $a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$, откуда $a=2$. Следовательно, длина ребра куба равна 2.

Теперь, зная длину ребра и то, что ребра параллельны осям, найдем координаты остальных вершин. Вершины нижнего основания (B, C, D) лежат в плоскости $z=0$. Вершины верхнего основания (A₁, B₁, C₁, D₁) находятся на высоте $a=2$ над соответствующими вершинами нижнего основания.

Координаты вершины B
Вершина B получается из вершины A сдвигом вдоль оси $y$ на расстояние $a=2$ в положительном направлении (как показано на рисунке). $x_B = x_A = 1$ $y_B = y_A + a = -1 + 2 = 1$ $z_B = z_A = 0$
Ответ: B(1; 1; 0).

Координаты вершины D
Вершина D получается из вершины A сдвигом вдоль оси $x$ на расстояние $a=2$ в отрицательном направлении. $x_D = x_A - a = 1 - 2 = -1$ $y_D = y_A = -1$ $z_D = z_A = 0$
Ответ: D(-1; -1; 0).

Координаты вершины C
Вершина C получается из вершины B сдвигом вдоль оси $x$ на расстояние $a=2$ в отрицательном направлении (или из D сдвигом вдоль оси $y$ в положительном). $x_C = x_B - a = 1 - 2 = -1$ $y_C = y_B = 1$ $z_C = z_B = 0$
Ответ: C(-1; 1; 0).

Координаты вершины A₁
Вершина A₁ получается из вершины A сдвигом вдоль оси $z$ на расстояние $a=2$ в положительном направлении. $A_1 = (x_A, y_A, z_A + a) = (1, -1, 0 + 2) = (1, -1, 2)$
Ответ: A₁(1; -1; 2).

Координаты вершины B₁
Вершина B₁ получается из вершины B сдвигом вдоль оси $z$ на расстояние $a=2$ в положительном направлении. $B_1 = (x_B, y_B, z_B + a) = (1, 1, 0 + 2) = (1, 1, 2)$
Ответ: B₁(1; 1; 2).

Координаты вершины C₁
Вершина C₁ получается из вершины C сдвигом вдоль оси $z$ на расстояние $a=2$ в положительном направлении. $C_1 = (x_C, y_C, z_C + a) = (-1, 1, 0 + 2) = (-1, 1, 2)$
Ответ: C₁(-1; 1; 2).

Координаты вершины D₁
Вершина D₁ получается из вершины D сдвигом вдоль оси $z$ на расстояние $a=2$ в положительном направлении. $D_1 = (x_D, y_D, z_D + a) = (-1, -1, 0 + 2) = (-1, -1, 2)$
Ответ: D₁(-1; -1; 2).

1.10. Боковые рёбра прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны оси аппликат (рис. 1.9), $AD = 3, AB = 5, AA_1 = 8$. Начало координат, точка $O$, является серединой ребра $DD_1$. Найдите координаты вершин параллелепипеда.

Рис. 1.9

По условию задачи, $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед. Его боковые рёбра, в том числе $DD_1$, параллельны оси аппликат ($Oz$). Начало координат — точка $O(0, 0, 0)$ — является серединой ребра $DD_1$. Длина бокового ребра $AA_1$, а значит и $DD_1$, равна 8.

Так как ребро $DD_1$ параллельно оси $Oz$ и содержит точку $O(0, 0, 0)$, оно лежит на оси $Oz$. Поскольку $O$ — середина $DD_1$, то точки $D$ и $D_1$ находятся на расстоянии $|DD_1| / 2 = 8 / 2 = 4$ от начала координат. Приняв, что ось $Oz$ направлена от $D$ к $D_1$ (как на рисунке), получаем координаты этих вершин:

$D(0, 0, -4)$ и $D_1(0, 0, 4)$.

Основание $ABCD$ лежит в плоскости, перпендикулярной оси $Oz$ и проходящей через точку $D$. Значит, все точки этого основания имеют аппликату $z = -4$. Аналогично, все точки верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ имеют аппликату $z = 4$.

Найдем координаты остальных вершин. Согласно рисунку, ребро $AD$ параллельно оси абсцисс ($Ox$), а ребро $DC$ — оси ординат ($Oy$).

• Вершина A. Вектор $\vec{DA}$ сонаправлен с осью $Ox$. Длина ребра $AD = 3$. Чтобы найти координаты точки $A$, нужно к координатам точки $D$ прибавить вектор $(3, 0, 0)$:
  $A = (0+3, 0+0, -4+0) = (3, 0, -4)$.
  Соответственно, координаты вершины $A_1$ будут $(3, 0, 4)$.

• Вершина C. Вектор $\vec{DC}$ сонаправлен с осью $Oy$. Длина ребра $DC$ равна длине ребра $AB = 5$. Чтобы найти координаты точки $C$, нужно к координатам точки $D$ прибавить вектор $(0, 5, 0)$:
  $C = (0+0, 0+5, -4+0) = (0, 5, -4)$.
  Соответственно, координаты вершины $C_1$ будут $(0, 5, 4)$.

• Вершина B. Координаты вершины $B$ можно найти, прибавив к координатам точки $A$ вектор $\vec{AB}$, который равен вектору $\vec{DC}=(0, 5, 0)$:
  $B = (3+0, 0+5, -4+0) = (3, 5, -4)$.
  Соответственно, координаты вершины $B_1$ будут $(3, 5, 4)$.

Таким образом, мы нашли координаты всех восьми вершин параллелепипеда.

Ответ: $A(3, 0, -4)$, $B(3, 5, -4)$, $C(0, 5, -4)$, $D(0, 0, -4)$, $A_1(3, 0, 4)$, $B_1(3, 5, 4)$, $C_1(0, 5, 4)$, $D_1(0, 0, 4)$.

1.11. Найдите расстояние между точками A и B, если:

1) $A (3; -4; 2)$, $B (5; -6; 1)$;

2) $A (-2; 3; 1)$, $B (-3; 2; 0)$.

Для нахождения расстояния между двумя точками $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ в трехмерном пространстве используется формула:

$d = |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

1) Даны точки A (3; -4; 2) и B (5; -6; 1).

Подставим координаты этих точек в формулу расстояния:

$|AB| = \sqrt{(5 - 3)^2 + (-6 - (-4))^2 + (1 - 2)^2}$

Выполним вычисления:

$|AB| = \sqrt{2^2 + (-6 + 4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

Ответ: 3

2) Даны точки A (-2; 3; 1) и B (-3; 2; 0).

Подставим координаты этих точек в формулу расстояния:

$|AB| = \sqrt{(-3 - (-2))^2 + (2 - 3)^2 + (0 - 1)^2}$

Выполним вычисления:

$|AB| = \sqrt{(-3 + 2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

1.12. Найдите расстояние между точками $C(6; -5; -1)$ и $D(8; -7; 1)$.

Для того чтобы найти расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве C($x_1$; $y_1$; $z_1$) и D($x_2$; $y_2$; $z_2$), используется формула расстояния:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
В данном случае у нас есть точки C(6; -5; -1) и D(8; -7; 1).
Подставим координаты этих точек в формулу:
$x_1 = 6, y_1 = -5, z_1 = -1$
$x_2 = 8, y_2 = -7, z_2 = 1$
Расстояние CD будет равно:
$CD = \sqrt{(8 - 6)^2 + (-7 - (-5))^2 + (1 - (-1))^2}$
Теперь выполним вычисления внутри скобок:
$CD = \sqrt{(2)^2 + (-7 + 5)^2 + (1 + 1)^2}$
$CD = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 2^2}$
Возведем числа в квадрат и сложим их:
$CD = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12}$
Упростим полученный корень, разложив подкоренное выражение на множители:
$CD = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$.

1.13. Найдите координаты середины отрезка $CD$, если $C(-2; 6; -7)$, $D(4; -10; -3)$.

Чтобы найти координаты середины отрезка в трехмерном пространстве, необходимо вычислить среднее арифметическое для каждой из соответствующих координат его концов. Пусть M(x; y; z) - искомая середина отрезка CD.

Координаты концов отрезка заданы: C(-2; 6; -7) и D(4; -10; -3).

Координаты середины отрезка вычисляются по следующим формулам:

$x_M = \frac{x_C + x_D}{2}$

$y_M = \frac{y_C + y_D}{2}$

$z_M = \frac{z_C + z_D}{2}$

Подставим значения координат точек C и D в эти формулы:

Вычислим координату x:

$x_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Вычислим координату y:

$y_M = \frac{6 + (-10)}{2} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Вычислим координату z:

$z_M = \frac{-7 + (-3)}{2} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Следовательно, координаты середины отрезка CD равны (1; -2; -5).

Ответ: (1; -2; -5).

1.14. Найдите координаты середины отрезка $EF$, если $E(3; -3; 10)$, $F(1; -4; -8)$.

Для нахождения координат середины отрезка необходимо вычислить среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Пусть точка $M(x_M; y_M; z_M)$ является серединой отрезка с концами в точках $E(x_E; y_E; z_E)$ и $F(x_F; y_F; z_F)$. Координаты точки $M$ находятся по следующим формулам:

$x_M = \frac{x_E + x_F}{2}$

$y_M = \frac{y_E + y_F}{2}$

$z_M = \frac{z_E + z_F}{2}$

В данном случае нам даны координаты точек $E(3; -3; 10)$ и $F(1; -4; -8)$. Подставим эти значения в формулы для нахождения координат середины отрезка.

Вычисляем координату $x_M$:

$x_M = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Вычисляем координату $y_M$:

$y_M = \frac{-3 + (-4)}{2} = \frac{-3 - 4}{2} = \frac{-7}{2} = -3,5$

Вычисляем координату $z_M$:

$z_M = \frac{10 + (-8)}{2} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, середина отрезка $EF$ имеет координаты $(2; -3,5; 1)$.

Ответ: $(2; -3,5; 1)$

1.15. Точки $P (7; 11; -9)$ и $K (8; -6; -1)$ симметричны относительно точки $C$. Найдите координаты точки $C$.

Если точки P и K симметричны относительно точки C, это означает, что точка C является серединой отрезка PK. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое (полусумма) соответствующих координат его концов.

Даны координаты точек P(7; 11; -9) и K(8; -6; -1). Обозначим координаты искомой точки C как ($x_C$; $y_C$; $z_C$).

Формулы для нахождения координат середины отрезка:
$x_C = \frac{x_P + x_K}{2}$
$y_C = \frac{y_P + y_K}{2}$
$z_C = \frac{z_P + z_K}{2}$

Вычислим каждую координату точки C:
$x_C = \frac{7 + 8}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$
$y_C = \frac{11 + (-6)}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$
$z_C = \frac{-9 + (-1)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Таким образом, координаты точки C: (7,5; 2,5; -5).

Ответ: C(7,5; 2,5; -5).

1.16. Точка $S$ — середина отрезка $AD$, $A(-1; -2; -3)$, $S(5; -1; 0)$. Найдите координаты точки $D$.

Пусть искомая точка D имеет координаты $(x_D; y_D; z_D)$.
Поскольку точка S является серединой отрезка AD, её координаты $(x_S; y_S; z_S)$ равны полусумме соответствующих координат точек A $(x_A; y_A; z_A)$ и D $(x_D; y_D; z_D)$.
Формулы для нахождения координат середины отрезка:
$x_S = \frac{x_A + x_D}{2}$
$y_S = \frac{y_A + y_D}{2}$
$z_S = \frac{z_A + z_D}{2}$
Чтобы найти координаты точки D, выразим их из этих формул:
$x_D = 2x_S - x_A$
$y_D = 2y_S - y_A$
$z_D = 2z_S - z_A$
Теперь подставим известные координаты точек $A (-1; -2; -3)$ и $S (5; -1; 0)$:
$x_D = 2 \cdot 5 - (-1) = 10 + 1 = 11$
$y_D = 2 \cdot (-1) - (-2) = -2 + 2 = 0$
$z_D = 2 \cdot 0 - (-3) = 0 + 3 = 3$
Таким образом, координаты точки D: $(11; 0; 3)$.
Ответ: D(11; 0; 3).

1.17. Точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $M$, причём $B(1; 3; -5)$, $M(9; 0; -4)$. Найдите координаты точки $A$.

Поскольку точки A и B симметричны относительно точки M, это означает, что точка M является серединой отрезка AB. Обозначим искомые координаты точки A как $(x_A; y_A; z_A)$.

Координаты середины отрезка M $(x_M; y_M; z_M)$ находятся по формулам средних арифметических координат его концов A $(x_A; y_A; z_A)$ и B $(x_B; y_B; z_B)$:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

$z_M = \frac{z_A + z_B}{2}$

Из этих формул мы можем выразить координаты точки A:

$x_A = 2x_M - x_B$

$y_A = 2y_M - y_B$

$z_A = 2z_M - z_B$

Подставим известные значения координат точек B (1; 3; –5) и M (9; 0; –4) в полученные формулы.

Вычисление координаты x точки A:

$x_A = 2 \cdot 9 - 1 = 18 - 1 = 17$

Вычисление координаты y точки A:

$y_A = 2 \cdot 0 - 3 = 0 - 3 = -3$

Вычисление координаты z точки A:

$z_A = 2 \cdot (-4) - (-5) = -8 + 5 = -3$

Таким образом, координаты точки A: (17; -3; -3).

Ответ: A(17; -3; -3)

1.18. Найдите расстояние от точки M $ (-3; 4; 9) $ до оси аппликат.

Расстояние от точки до оси в трехмерном пространстве — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось. Ось аппликат — это ось $Oz$.

Дана точка $M$ с координатами $(x_M; y_M; z_M) = (-3; 4; 9)$.

Чтобы найти расстояние от точки $M$ до оси аппликат ($Oz$), нужно найти проекцию точки $M$ на эту ось. Проекцией точки $M(x; y; z)$ на ось $Oz$ будет точка $P$ с координатами $(0; 0; z)$. В нашем случае, проекцией точки $M(-3; 4; 9)$ на ось аппликат является точка $P(0; 0; 9)$.

Искомое расстояние равно длине отрезка $MP$. Найдем расстояние между точками $M(-3; 4; 9)$ и $P(0; 0; 9)$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$d = \sqrt{(x_P - x_M)^2 + (y_P - y_M)^2 + (z_P - z_M)^2}$

Подставим координаты точек:

$d = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (0 - 4)^2 + (9 - 9)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$.

В общем виде, расстояние от точки с координатами $(x; y; z)$ до оси аппликат ($Oz$) вычисляется по формуле $d = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Применяя эту формулу для точки $M(-3; 4; 9)$:

$d = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5

1.19. Найдите расстояние от точки $K (12; 10; -5)$ до оси ординат.

Расстояние от точки в трехмерном пространстве с координатами $(x; y; z)$ до оси ординат (оси $Oy$) представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось $Oy$. Это расстояние можно вычислить по формуле:

$d = \sqrt{x^2 + z^2}$

В данной задаче нам дана точка $K$ с координатами $(12; 10; -5)$. Следовательно, для этой точки $x = 12$ и $z = -5$.

Подставим значения координат $x$ и $z$ в формулу для нахождения расстояния:

$d = \sqrt{12^2 + (-5)^2}$

Теперь выполним вычисления:

$d = \sqrt{144 + 25}$

$d = \sqrt{169}$

$d = 13$

Таким образом, расстояние от точки $K(12; 10; -5)$ до оси ординат равно 13.

Ответ: 13

1.20. Расстояние между точками $A(1; y; 3)$ и $B(3; -6; 5)$ равно $2\sqrt{6}$. Найдите значение $y$.

Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления расстояния d между двумя точками в трехмерном пространстве A($x_1; y_1; z_1$) и B($x_2; y_2; z_2$):

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Из условия задачи нам даны координаты точек A(1; y; 3) и B(3; -6; 5), а также расстояние между ними $d = 2\sqrt{6}$. Подставим эти значения в формулу. Удобнее будет сразу возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

$(2\sqrt{6})^2 = (3 - 1)^2 + (-6 - y)^2 + (5 - 3)^2$

Теперь выполним вычисления:

$4 \cdot 6 = 2^2 + (-1 \cdot (6 + y))^2 + 2^2$

$24 = 4 + (6 + y)^2 + 4$

$24 = 8 + (6 + y)^2$

Теперь решим полученное уравнение относительно y:

$(6 + y)^2 = 24 - 8$

$(6 + y)^2 = 16$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных решения:

1) $6 + y = 4 \implies y_1 = 4 - 6 = -2$

2) $6 + y = -4 \implies y_2 = -4 - 6 = -10$

Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: -10; -2.

1.21. Точка А принадлежит оси абсцисс. Расстояние от точки А до точки $C(1; -1; -2)$ равно 3. Найдите координаты точки А.

Поскольку точка А принадлежит оси абсцисс (оси Ox), ее координаты имеют вид $A(x; 0; 0)$, где $x$ — неизвестная абсцисса.

Расстояние $d$ между двумя точками в пространстве с координатами $A(x_A; y_A; z_A)$ и $C(x_C; y_C; z_C)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2}$

По условию задачи, расстояние от точки $A(x; 0; 0)$ до точки $C(1; -1; -2)$ равно 3. Подставим известные значения в формулу расстояния:

$3 = \sqrt{(1 - x)^2 + (-1 - 0)^2 + (-2 - 0)^2}$

Упростим выражение под корнем:

$3 = \sqrt{(1 - x)^2 + (-1)^2 + (-2)^2}$

$3 = \sqrt{(1 - x)^2 + 1 + 4}$

$3 = \sqrt{(1 - x)^2 + 5}$

Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$3^2 = (\sqrt{(1 - x)^2 + 5})^2$

$9 = (1 - x)^2 + 5$

Выразим $(1 - x)^2$:

$(1 - x)^2 = 9 - 5$

$(1 - x)^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, что приведет к двум возможным случаям:

$1 - x = 2$ или $1 - x = -2$

Решим каждое уравнение:

1) $1 - x = 2 \implies x = 1 - 2 \implies x = -1$

2) $1 - x = -2 \implies x = 1 - (-2) \implies x = 1 + 2 \implies x = 3$

Таким образом, мы нашли два возможных значения для абсциссы точки А. Следовательно, существуют две точки, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: $(-1; 0; 0)$ или $(3; 0; 0)$.