Номер 1.9, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.9. Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположен в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 1.8. Точка A имеет координаты $(1; -1; 0)$. Найдите координаты остальных вершин куба.

Рис. 1.8

Для нахождения координат остальных вершин куба воспользуемся данными о координатах точки A и информацией из рисунка.

Задана вершина A с координатами (1; -1; 0). Из рисунка и нулевой z-координаты точки A следует, что основание куба ABCD лежит в плоскости $xy$. Также из рисунка видно, что центр этого основания, точка O, совпадает с началом координат (0; 0; 0), а ребра куба параллельны осям координат.

Сначала определим длину ребра куба $a$. Расстояние от центра квадрата (точки O) до его вершины (точки A) равно: $OA = \sqrt{(1-0)^2 + (-1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. Это расстояние составляет половину диагонали квадрата ABCD. Таким образом, длина диагонали $d = 2 \cdot OA = 2\sqrt{2}$. Диагональ квадрата связана с его стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$. Приравнивая выражения для диагонали, получаем: $a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$, откуда $a=2$. Следовательно, длина ребра куба равна 2.

Теперь, зная длину ребра и то, что ребра параллельны осям, найдем координаты остальных вершин. Вершины нижнего основания (B, C, D) лежат в плоскости $z=0$. Вершины верхнего основания (A₁, B₁, C₁, D₁) находятся на высоте $a=2$ над соответствующими вершинами нижнего основания.

Координаты вершины B
Вершина B получается из вершины A сдвигом вдоль оси $y$ на расстояние $a=2$ в положительном направлении (как показано на рисунке). $x_B = x_A = 1$ $y_B = y_A + a = -1 + 2 = 1$ $z_B = z_A = 0$
Ответ: B(1; 1; 0).

Координаты вершины D
Вершина D получается из вершины A сдвигом вдоль оси $x$ на расстояние $a=2$ в отрицательном направлении. $x_D = x_A - a = 1 - 2 = -1$ $y_D = y_A = -1$ $z_D = z_A = 0$
Ответ: D(-1; -1; 0).

Координаты вершины C
Вершина C получается из вершины B сдвигом вдоль оси $x$ на расстояние $a=2$ в отрицательном направлении (или из D сдвигом вдоль оси $y$ в положительном). $x_C = x_B - a = 1 - 2 = -1$ $y_C = y_B = 1$ $z_C = z_B = 0$
Ответ: C(-1; 1; 0).

Координаты вершины A₁
Вершина A₁ получается из вершины A сдвигом вдоль оси $z$ на расстояние $a=2$ в положительном направлении. $A_1 = (x_A, y_A, z_A + a) = (1, -1, 0 + 2) = (1, -1, 2)$
Ответ: A₁(1; -1; 2).

Координаты вершины B₁
Вершина B₁ получается из вершины B сдвигом вдоль оси $z$ на расстояние $a=2$ в положительном направлении. $B_1 = (x_B, y_B, z_B + a) = (1, 1, 0 + 2) = (1, 1, 2)$
Ответ: B₁(1; 1; 2).

Координаты вершины C₁
Вершина C₁ получается из вершины C сдвигом вдоль оси $z$ на расстояние $a=2$ в положительном направлении. $C_1 = (x_C, y_C, z_C + a) = (-1, 1, 0 + 2) = (-1, 1, 2)$
Ответ: C₁(-1; 1; 2).

Координаты вершины D₁
Вершина D₁ получается из вершины D сдвигом вдоль оси $z$ на расстояние $a=2$ в положительном направлении. $D_1 = (x_D, y_D, z_D + a) = (-1, -1, 0 + 2) = (-1, -1, 2)$
Ответ: D₁(-1; -1; 2).