Номер 1.10, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.10. Боковые рёбра прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны оси аппликат (рис. 1.9), $AD = 3, AB = 5, AA_1 = 8$. Начало координат, точка $O$, является серединой ребра $DD_1$. Найдите координаты вершин параллелепипеда.

Рис. 1.9

По условию задачи, $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед. Его боковые рёбра, в том числе $DD_1$, параллельны оси аппликат ($Oz$). Начало координат — точка $O(0, 0, 0)$ — является серединой ребра $DD_1$. Длина бокового ребра $AA_1$, а значит и $DD_1$, равна 8.

Так как ребро $DD_1$ параллельно оси $Oz$ и содержит точку $O(0, 0, 0)$, оно лежит на оси $Oz$. Поскольку $O$ — середина $DD_1$, то точки $D$ и $D_1$ находятся на расстоянии $|DD_1| / 2 = 8 / 2 = 4$ от начала координат. Приняв, что ось $Oz$ направлена от $D$ к $D_1$ (как на рисунке), получаем координаты этих вершин:

$D(0, 0, -4)$ и $D_1(0, 0, 4)$.

Основание $ABCD$ лежит в плоскости, перпендикулярной оси $Oz$ и проходящей через точку $D$. Значит, все точки этого основания имеют аппликату $z = -4$. Аналогично, все точки верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ имеют аппликату $z = 4$.

Найдем координаты остальных вершин. Согласно рисунку, ребро $AD$ параллельно оси абсцисс ($Ox$), а ребро $DC$ — оси ординат ($Oy$).

• Вершина A. Вектор $\vec{DA}$ сонаправлен с осью $Ox$. Длина ребра $AD = 3$. Чтобы найти координаты точки $A$, нужно к координатам точки $D$ прибавить вектор $(3, 0, 0)$:
  $A = (0+3, 0+0, -4+0) = (3, 0, -4)$.
  Соответственно, координаты вершины $A_1$ будут $(3, 0, 4)$.

• Вершина C. Вектор $\vec{DC}$ сонаправлен с осью $Oy$. Длина ребра $DC$ равна длине ребра $AB = 5$. Чтобы найти координаты точки $C$, нужно к координатам точки $D$ прибавить вектор $(0, 5, 0)$:
  $C = (0+0, 0+5, -4+0) = (0, 5, -4)$.
  Соответственно, координаты вершины $C_1$ будут $(0, 5, 4)$.

• Вершина B. Координаты вершины $B$ можно найти, прибавив к координатам точки $A$ вектор $\vec{AB}$, который равен вектору $\vec{DC}=(0, 5, 0)$:
  $B = (3+0, 0+5, -4+0) = (3, 5, -4)$.
  Соответственно, координаты вершины $B_1$ будут $(3, 5, 4)$.

Таким образом, мы нашли координаты всех восьми вершин параллелепипеда.

Ответ: $A(3, 0, -4)$, $B(3, 5, -4)$, $C(0, 5, -4)$, $D(0, 0, -4)$, $A_1(3, 0, 4)$, $B_1(3, 5, 4)$, $C_1(0, 5, 4)$, $D_1(0, 0, 4)$.