Страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.22. Точка $M$ принадлежит отрезку $AB$ и делит его в отношении $4 : 1$, считая от точки $A$. Найдите координаты точки $M$, если $A (2; -3; 2)$, $B (-3; 1; -8)$.

Для нахождения координат точки M, которая делит отрезок AB в заданном отношении, воспользуемся формулой деления отрезка в данном отношении в пространстве.

Пусть даны точки $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$. Координаты точки M(x; y; z), которая делит отрезок AB в отношении $m:n$, считая от точки A, вычисляются по следующим формулам:

$x = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}$

$y = \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m+n}$

$z = \frac{n \cdot z_1 + m \cdot z_2}{m+n}$

По условию задачи имеем:

Координаты точки A: $A(2; -3; 2)$, то есть $x_1 = 2$, $y_1 = -3$, $z_1 = 2$.

Координаты точки B: $B(-3; 1; -8)$, то есть $x_2 = -3$, $y_2 = 1$, $z_2 = -8$.

Отношение, в котором точка M делит отрезок AB, равно $4:1$. Следовательно, $m=4$ и $n=1$.

Подставим эти значения в формулы для нахождения координат $(x_M; y_M; z_M)$ точки M:

1. Вычисляем координату $x_M$:

$x_M = \frac{1 \cdot 2 + 4 \cdot (-3)}{4+1} = \frac{2 - 12}{5} = \frac{-10}{5} = -2$

2. Вычисляем координату $y_M$:

$y_M = \frac{1 \cdot (-3) + 4 \cdot 1}{4+1} = \frac{-3 + 4}{5} = \frac{1}{5} = 0,2$

3. Вычисляем координату $z_M$:

$z_M = \frac{1 \cdot 2 + 4 \cdot (-8)}{4+1} = \frac{2 - 32}{5} = \frac{-30}{5} = -6$

Таким образом, координаты точки M равны $(-2; 0,2; -6)$.

Ответ: $M(-2; 0,2; -6)$

1.23. Точка $M$ принадлежит отрезку $AB$ и делит его в отношении $1 : 2$, считая от точки $A$. Найдите координаты точки $B$, если $A (4; -6; 0)$, $M (3; -2; -3)$.

Пусть искомая точка $B$ имеет координаты $(x_B, y_B, z_B)$.

По условию, точка $M(3; -2; -3)$ делит отрезок $AB$, где $A(4; -6; 0)$, в отношении $AM : MB = 1 : 2$. Это означает, что коэффициент деления $\lambda = \frac{AM}{MB} = \frac{1}{2}$.

Координаты точки $M$, которая делит отрезок $AB$ с концами в точках $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$ в отношении $\lambda$, вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda}$

$y_M = \frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda}$

$z_M = \frac{z_A + \lambda z_B}{1 + \lambda}$

Для того чтобы найти координаты точки $B$, необходимо выразить $x_B$, $y_B$ и $z_B$ из данных формул:

$x_M(1 + \lambda) = x_A + \lambda x_B \implies \lambda x_B = x_M(1 + \lambda) - x_A \implies x_B = \frac{x_M(1 + \lambda) - x_A}{\lambda}$

Аналогично для других координат:

$y_B = \frac{y_M(1 + \lambda) - y_A}{\lambda}$

$z_B = \frac{z_M(1 + \lambda) - z_A}{\lambda}$

Подставим известные значения: $A(4; -6; 0)$, $M(3; -2; -3)$ и $\lambda = \frac{1}{2}$.

Вычислим координату $x_B$:
$x_B = \frac{3 \cdot (1 + \frac{1}{2}) - 4}{\frac{1}{2}} = \frac{3 \cdot \frac{3}{2} - 4}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{2} - \frac{8}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$

Вычислим координату $y_B$:
$y_B = \frac{-2 \cdot (1 + \frac{1}{2}) - (-6)}{\frac{1}{2}} = \frac{-2 \cdot \frac{3}{2} + 6}{\frac{1}{2}} = \frac{-3 + 6}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$

Вычислим координату $z_B$:
$z_B = \frac{-3 \cdot (1 + \frac{1}{2}) - 0}{\frac{1}{2}} = \frac{-3 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{9}{2}}{\frac{1}{2}} = -9$

Таким образом, координаты искомой точки $B$ равны $(1; 6; -9)$.

Ответ: $B(1; 6; -9)$

1.24. Найдите точку, принадлежащую оси ординат и равноудалённую от точек $A (2; 3; 1)$ и $B (4; 1; -5)$.

Пусть искомая точка $C$ имеет координаты $(x; y; z)$.

По условию, точка $C$ принадлежит оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что её абсцисса ($x$) и аппликата ($z$) равны нулю. Таким образом, координаты точки $C$ можно записать как $(0; y; 0)$. Нам нужно найти значение $y$.

Также по условию, точка $C$ равноудалена от точек $A(2; 3; 1)$ и $B(4; 1; -5)$. Это значит, что расстояние от $C$ до $A$ равно расстоянию от $C$ до $B$, то есть $|CA| = |CB|$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $|CA|^2 = |CB|^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния $|CA|^2$ между точками $C(0; y; 0)$ и $A(2; 3; 1)$: $|CA|^2 = (2 - 0)^2 + (3 - y)^2 + (1 - 0)^2 = 2^2 + (3 - y)^2 + 1^2 = 4 + (9 - 6y + y^2) + 1 = y^2 - 6y + 14$.

Теперь найдем квадрат расстояния $|CB|^2$ между точками $C(0; y; 0)$ и $B(4; 1; -5)$: $|CB|^2 = (4 - 0)^2 + (1 - y)^2 + (-5 - 0)^2 = 4^2 + (1 - y)^2 + (-5)^2 = 16 + (1 - 2y + y^2) + 25 = y^2 - 2y + 42$.

Приравняем квадраты расстояний $|CA|^2$ и $|CB|^2$: $y^2 - 6y + 14 = y^2 - 2y + 42$.

Решим полученное уравнение относительно $y$: $-6y + 14 = -2y + 42$ $-6y + 2y = 42 - 14$ $-4y = 28$ $y = \frac{28}{-4}$ $y = -7$.

Таким образом, ордината искомой точки равна -7. Координаты точки $C$ будут $(0; -7; 0)$.

Ответ: $(0; -7; 0)$.

1.25. Найдите точку, принадлежащую оси абсцисс и равноудалённую от точки $A (-1; 2; 4)$ и плоскости $yz$.

Пусть искомая точка $M$ принадлежит оси абсцисс (оси $Ox$). Это означает, что её координаты имеют вид $M(x; 0; 0)$.

По условию задачи, точка $M$ равноудалена от точки $A(-1; 2; 4)$ и от плоскости $yz$. Это значит, что расстояние от $M$ до $A$ равно расстоянию от $M$ до плоскости $yz$.

1. Расстояние от точки $M(x; 0; 0)$ до точки $A(-1; 2; 4)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:$d(M, A) = \sqrt{(x_A - x_M)^2 + (y_A - y_M)^2 + (z_A - z_M)^2}$$d(M, A) = \sqrt{(-1 - x)^2 + (2 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-(1 + x))^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{(x+1)^2 + 4 + 16} = \sqrt{(x+1)^2 + 20}$

2. Расстояние от точки $M(x; 0; 0)$ до плоскости $yz$ (уравнение которой $x=0$) равно модулю её абсциссы, то есть $|x|$.

3. Приравняем эти два расстояния, так как точка $M$ равноудалена:$d(M, A) = d(M, yz)$$\sqrt{(x+1)^2 + 20} = |x|$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:$(\sqrt{(x+1)^2 + 20})^2 = (|x|)^2$$(x+1)^2 + 20 = x^2$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:$x^2 + 2x + 1 + 20 = x^2$$x^2 + 2x + 21 = x^2$$2x + 21 = 0$$2x = -21$$x = -\frac{21}{2} = -10.5$

Следовательно, искомая точка $M$ имеет координаты $(-10.5; 0; 0)$.

Ответ: $(-10.5; 0; 0)$.

1.26. Найдите точку, принадлежащую оси аппликат и равноудалённую от начала координат и точки $M (3; -6; 9)$.

Пусть искомая точка $A$, принадлежащая оси аппликат (оси $Oz$), имеет координаты $(0; 0; z)$. Начало координат — это точка $O(0; 0; 0)$. Вторая данная точка — $M(3; -6; 9)$.

По условию задачи, точка $A$ равноудалена от точек $O$ и $M$, что означает, что расстояние $AO$ равно расстоянию $AM$.$AO = AM$

Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний:$AO^2 = AM^2$

Квадрат расстояния между двумя точками $P_1(x_1; y_1; z_1)$ и $P_2(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле:$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

Найдем квадрат расстояния от точки $A(0; 0; z)$ до начала координат $O(0; 0; 0)$:$AO^2 = (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (z - 0)^2 = z^2$

Найдем квадрат расстояния от точки $A(0; 0; z)$ до точки $M(3; -6; 9)$:$AM^2 = (3 - 0)^2 + (-6 - 0)^2 + (9 - z)^2 = 3^2 + (-6)^2 + (9 - z)^2 = 9 + 36 + (9 - z)^2 = 45 + (9 - z)^2$

Теперь приравняем полученные выражения:$z^2 = 45 + (9 - z)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $z$:$z^2 = 45 + (81 - 18z + z^2)$$z^2 = 45 + 81 - 18z + z^2$$z^2 = 126 - 18z + z^2$

Вычтем $z^2$ из обеих частей уравнения:$0 = 126 - 18z$

Перенесем $18z$ в левую часть:$18z = 126$$z = \frac{126}{18}$$z = 7$

Следовательно, искомая точка, принадлежащая оси аппликат и равноудаленная от начала координат и точки $M$, имеет координаты $(0; 0; 7)$.

Ответ: $(0; 0; 7)$

1.27. Точка $C(-4; 3; 2)$ — середина отрезка AB, точка A принадлежит плоскости $xz$, точка B — оси $y$. Найдите координаты точек A и B.

Пусть координаты точки A будут $(x_A; y_A; z_A)$, а координаты точки B — $(x_B; y_B; z_B)$.

По условию задачи, точка A принадлежит плоскости xz. Это означает, что ее координата y равна нулю, то есть $y_A = 0$. Следовательно, координаты точки A можно записать как $(x_A; 0; z_A)$.

Также по условию, точка B принадлежит оси y. Это означает, что ее координаты x и z равны нулю, то есть $x_B = 0$ и $z_B = 0$. Следовательно, координаты точки B можно записать как $(0; y_B; 0)$.

Точка C(-4; 3; 2) является серединой отрезка AB. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Запишем формулы для координат точки C:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$
$z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$

Теперь подставим известные значения в эти формулы, чтобы найти неизвестные координаты $x_A$, $y_B$ и $z_A$.

1. Найдем координату $x_A$:
$-4 = \frac{x_A + 0}{2}$
$-8 = x_A$

2. Найдем координату $y_B$:
$3 = \frac{0 + y_B}{2}$
$6 = y_B$

3. Найдем координату $z_A$:
$2 = \frac{z_A + 0}{2}$
$4 = z_A$

Таким образом, мы определили все неизвестные координаты. Координаты точки A: $(-8; 0; 4)$. Координаты точки B: $(0; 6; 0)$.

Ответ: A(-8; 0; 4), B(0; 6; 0).

1.28. На отрезке $AB$ отметили точки $C$ и $D$, делящие его на три равные части, точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$. Найдите координаты точки $B$, если $A (-14; 5; -8)$, $D (7; -7; 2)$.

По условию задачи, точки C и D делят отрезок AB на три равные части. Поскольку точка C лежит между точками A и D, порядок расположения точек на отрезке следующий: A, C, D, B. Это означает, что длины отрезков AC, CD и DB равны между собой: $AC = CD = DB$.

В векторной форме это можно записать как равенство сонаправленных векторов: $\vec{AC} = \vec{CD} = \vec{DB}$.

Рассмотрим вектор $\vec{AD}$. Он является суммой векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$:$\vec{AD} = \vec{AC} + \vec{CD}$. Так как $\vec{AC} = \vec{CD}$, мы можем заменить $\vec{AC}$ на $\vec{CD}$ и получить:$\vec{AD} = \vec{CD} + \vec{CD} = 2\vec{CD}$.

Из этого соотношения выразим вектор $\vec{CD}$:$\vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Поскольку $\vec{DB} = \vec{CD}$, мы можем сделать вывод, что:$\vec{DB} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Это ключевое соотношение позволяет найти координаты точки B. Для этого выполним следующие действия:

1. Находим координаты вектора $\vec{AD}$

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала. Имея координаты точек $A(-14; 5; -8)$ и $D(7; -7; 2)$, вычисляем:$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (7 - (-14); -7 - 5; 2 - (-8)) = (21; -12; 10)$.

2. Находим координаты вектора $\vec{DB}$

Используя соотношение $\vec{DB} = \frac{1}{2}\vec{AD}$ и найденные координаты вектора $\vec{AD}$, получаем:$\vec{DB} = \frac{1}{2}(21; -12; 10) = (\frac{21}{2}; \frac{-12}{2}; \frac{10}{2}) = (10.5; -6; 5)$.

3. Находим координаты точки B

Пусть точка B имеет координаты $(x_B; y_B; z_B)$. Координаты вектора $\vec{DB}$ также можно выразить через координаты его начальной точки D и конечной точки B:$\vec{DB} = (x_B - x_D; y_B - y_D; z_B - z_D)$.

Приравнивая это выражение к найденным ранее координатам вектора $\vec{DB}$ и подставляя известные координаты точки $D(7; -7; 2)$, получаем систему уравнений:$x_B - 7 = 10.5$$y_B - (-7) = -6$$z_B - 2 = 5$

Решая эти уравнения, находим искомые координаты точки B:$x_B = 10.5 + 7 = 17.5$$y_B = -6 - 7 = -13$$z_B = 5 + 2 = 7$

Следовательно, координаты точки B равны $(17.5; -13; 7)$.

Ответ: $B(17.5; -13; 7)$.

1.29. Найдите координаты вершины $D$ параллелограмма $ABCD$, если $A(1; -2; 2)$, $B(2; 6; 1)$, $C(-1; -1; 3)$.

Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма $ABCD$ можно воспользоваться свойством векторов. В параллелограмме противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Таким образом, $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Пусть координаты вершины $D$ будут $(x; y; z)$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точек $B(2; 6; 1)$ и $C(-1; -1; 3)$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала:
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-1 - 2; -1 - 6; 3 - 1) = (-3; -7; 2)$.

Теперь выразим координаты вектора $\vec{AD}$ через неизвестные координаты точки $D(x; y; z)$ и известные координаты точки $A(1; -2; 2)$:
$\vec{AD} = (x - x_A; y - y_A; z - z_A) = (x - 1; y - (-2); z - 2) = (x - 1; y + 2; z - 2)$.

Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, их соответствующие координаты должны быть равны. Составим систему уравнений:
$x - 1 = -3$
$y + 2 = -7$
$z - 2 = 2$

Решим каждое уравнение:
$x = -3 + 1 \implies x = -2$
$y = -7 - 2 \implies y = -9$
$z = 2 + 2 \implies z = 4$

Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(-2; -9; 4)$.

Ответ: $D(-2; -9; 4)$

1.30. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2; 3; -1)$, $B(-2; 7; -6)$, $C(-1; 7; -6)$ и $D(-1; 3; -1)$ является прямоугольником.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, достаточно показать, что это параллелограмм, у которого смежные стороны перпендикулярны. Для этого воспользуемся методами векторной алгебры.

Даны координаты вершин четырёхугольника:

A(-2; 3; -1)

B(-2; 7; -6)

C(-1; 7; -6)

D(-1; 3; -1)

Сначала найдём координаты векторов, соответствующих сторонам четырёхугольника. Координаты вектора $\vec{XY}$ находятся как разность координат его конца и начала: $\vec{XY} = (x_Y - x_X; y_Y - y_X; z_Y - z_X)$.

Найдём координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{AB} = (-2 - (-2); 7 - 3; -6 - (-1)) = (0; 4; -5)$

$\vec{DC} = (-1 - (-1); 7 - 3; -6 - (-1)) = (0; 4; -5)$

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ имеют одинаковые координаты, они равны ($\vec{AB} = \vec{DC}$). Это означает, что противоположные стороны AB и DC параллельны и равны по длине. Следовательно, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Теперь проверим, являются ли смежные стороны, например AB и AD, перпендикулярными. Для этого найдём координаты вектора $\vec{AD}$ и вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Если скалярное произведение равно нулю, то стороны перпендикулярны.

Найдём координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (-1 - (-2); 3 - 3; -1 - (-1)) = (1; 0; 0)$

Скалярное произведение векторов $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$ и $\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + (-5) \cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны, а значит, угол между сторонами AB и AD прямой ($\angle DAB = 90^\circ$).

Поскольку ABCD — это параллелограмм с прямым углом, он по определению является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано.

1.31. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (4; 2; 10)$, $B (10; -2; 8)$, $C (4; -4; 4)$ и $D (-2; 0; 6)$ является ромбом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является ромбом, необходимо и достаточно показать, что все его стороны имеют одинаковую длину. Для этого найдём длины сторон, используя формулу расстояния между двумя точками $M_1(x_1; y_1; z_1)$ и $M_2(x_2; y_2; z_2)$ в пространстве:

$d = |M_1M_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Даны вершины четырёхугольника: A(4; 2; 10), B(10; -2; 8), C(4; -4; 4) и D(-2; 0; 6).

Вычисление длины стороны AB

Найдём расстояние между точками A(4; 2; 10) и B(10; -2; 8):

$|AB| = \sqrt{(10 - 4)^2 + (-2 - 2)^2 + (8 - 10)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}$

Вычисление длины стороны BC

Найдём расстояние между точками B(10; -2; 8) и C(4; -4; 4):

$|BC| = \sqrt{(4 - 10)^2 + (-4 - (-2))^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56}$

Вычисление длины стороны CD

Найдём расстояние между точками C(4; -4; 4) и D(-2; 0; 6):

$|CD| = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (0 - (-4))^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}$

Вычисление длины стороны DA

Найдём расстояние между точками D(-2; 0; 6) и A(4; 2; 10):

$|DA| = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (2 - 0)^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56}$

Поскольку длины всех сторон четырёхугольника равны между собой: $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{56}$, то по определению данный четырёхугольник является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как все стороны четырёхугольника ABCD равны $\sqrt{56}$.

1.32. Найдите точку, принадлежащую плоскости $yz$ и равноудалённую от точек $A(2; 1; -3)$, $B(3; 2; -2)$ и $C(4; -3; -1)$.

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x; y; z)$.

По условию, точка $M$ принадлежит плоскости $yz$. Уравнение плоскости $yz$ - это $x=0$. Следовательно, координаты точки $M$ имеют вид $(0; y; z)$.

Также по условию, точка $M$ равноудалена от точек $A(2; 1; -3)$, $B(3; 2; -2)$ и $C(4; -3; -1)$. Это означает, что расстояния от $M$ до этих точек равны: $|MA| = |MB| = |MC|$.

Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $|MA|^2 = |MB|^2 = |MC|^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ выглядит так: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Вычислим квадраты расстояний от точки $M(0; y; z)$ до точек A, B и C:
$|MA|^2 = (0-2)^2 + (y-1)^2 + (z-(-3))^2 = 4 + (y-1)^2 + (z+3)^2 = 4 + y^2 - 2y + 1 + z^2 + 6z + 9 = y^2 + z^2 - 2y + 6z + 14$.
$|MB|^2 = (0-3)^2 + (y-2)^2 + (z-(-2))^2 = 9 + (y-2)^2 + (z+2)^2 = 9 + y^2 - 4y + 4 + z^2 + 4z + 4 = y^2 + z^2 - 4y + 4z + 17$.
$|MC|^2 = (0-4)^2 + (y-(-3))^2 + (z-(-1))^2 = 16 + (y+3)^2 + (z+1)^2 = 16 + y^2 + 6y + 9 + z^2 + 2z + 1 = y^2 + z^2 + 6y + 2z + 26$.

Приравняем выражения для $|MA|^2$ и $|MB|^2$, а также для $|MB|^2$ и $|MC|^2$, чтобы составить систему уравнений.

1) $|MA|^2 = |MB|^2$
$y^2 + z^2 - 2y + 6z + 14 = y^2 + z^2 - 4y + 4z + 17$
Сокращаем $y^2$ и $z^2$:
$-2y + 6z + 14 = -4y + 4z + 17$
$2y + 2z = 3$

2) $|MB|^2 = |MC|^2$
$y^2 + z^2 - 4y + 4z + 17 = y^2 + z^2 + 6y + 2z + 26$
Сокращаем $y^2$ и $z^2$:
$-4y + 4z + 17 = 6y + 2z + 26$
$-10y + 2z = 9$

Теперь решим полученную систему линейных уравнений с двумя переменными $y$ и $z$:
$\begin{cases} 2y + 2z = 3 \\ -10y + 2z = 9 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(2y + 2z) - (-10y + 2z) = 3 - 9$
$12y = -6$
$y = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $z$:
$2(-\frac{1}{2}) + 2z = 3$
$-1 + 2z = 3$
$2z = 4$
$z = 2$

Таким образом, мы нашли координаты искомой точки $M$: $x=0$, $y=-1/2$, $z=2$.

Ответ: $(0; -0,5; 2)$.

1.33. Найдите точку, расстояние от которой до плоскости $xy$ равно 2 и равноудалённую от точек $A(1; 0; 0)$, $B(0; 1; 0)$ и $C(0; 0; 1)$.

Пусть искомая точка имеет координаты $M(x; y; z)$.

По условию задачи, расстояние от точки $M$ до плоскости $xy$ равно 2. Уравнение плоскости $xy$ — это $z=0$. Расстояние от точки $(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $xy$ вычисляется как $|z_0|$. Следовательно, для точки $M(x; y; z)$ это расстояние равно $|z|$.

Получаем первое условие: $|z| = 2$, что означает $z = 2$ или $z = -2$.

Второе условие задачи заключается в том, что точка $M$ равноудалена от точек $A(1; 0; 0)$, $B(0; 1; 0)$ и $C(0; 0; 1)$. Это означает, что расстояния $MA$, $MB$ и $MC$ равны:

$MA = MB = MC$

Для удобства будем использовать квадраты расстояний:

$MA^2 = MB^2 = MC^2$

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

$MA^2 = (x-1)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = (x-1)^2 + y^2 + z^2$

$MB^2 = (x-0)^2 + (y-1)^2 + (z-0)^2 = x^2 + (y-1)^2 + z^2$

$MC^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-1)^2 = x^2 + y^2 + (z-1)^2$

Теперь составим систему уравнений.

1. Приравняем $MA^2$ и $MB^2$:

$(x-1)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y-1)^2 + z^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 + z^2$

$-2x = -2y$

$x = y$

2. Приравняем $MB^2$ и $MC^2$:

$x^2 + (y-1)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z-1)^2$

$x^2 + y^2 - 2y + 1 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2z + 1$

$-2y = -2z$

$y = z$

Из этих двух равенств следует, что $x = y = z$.

Теперь объединим оба условия, найденные для точки $M(x; y; z)$:

1. $x = y = z$

2. $z = 2$ или $z = -2$

Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: $z = 2$.

Поскольку $x = y = z$, то $x = 2$ и $y = 2$. Получаем точку $M_1(2; 2; 2)$.

Случай 2: $z = -2$.

Поскольку $x = y = z$, то $x = -2$ и $y = -2$. Получаем точку $M_2(-2; -2; -2)$.

Таким образом, существуют две точки, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: (2; 2; 2) и (-2; -2; -2).

1.34. Точки $D(-1; 2; 4)$, $E(5; -2; 1)$ и $F(3; -3; 5)$ являются серединами сторон некоторого треугольника. Найдите вершины этого треугольника.

Пусть вершины искомого треугольника имеют координаты $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$ и $C(x_C, y_C, z_C)$.

По условию, точки $D(-1; 2; 4)$, $E(5; -2; 1)$ и $F(3; -3; 5)$ являются серединами его сторон. Пусть $D$ – середина стороны $AB$, $E$ – середина стороны $BC$, а $F$ – середина стороны $AC$.

Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Исходя из этого, мы можем составить систему уравнений.

Для точки $D$ – середины $AB$:

$\frac{x_A + x_B}{2} = -1 \Rightarrow x_A + x_B = -2$

$\frac{y_A + y_B}{2} = 2 \Rightarrow y_A + y_B = 4$

$\frac{z_A + z_B}{2} = 4 \Rightarrow z_A + z_B = 8$

Для точки $E$ – середины $BC$:

$\frac{x_B + x_C}{2} = 5 \Rightarrow x_B + x_C = 10$

$\frac{y_B + y_C}{2} = -2 \Rightarrow y_B + y_C = -4$

$\frac{z_B + z_C}{2} = 1 \Rightarrow z_B + z_C = 2$

Для точки $F$ – середины $AC$:

$\frac{x_A + x_C}{2} = 3 \Rightarrow x_A + x_C = 6$

$\frac{y_A + y_C}{2} = -3 \Rightarrow y_A + y_C = -6$

$\frac{z_A + z_C}{2} = 5 \Rightarrow z_A + z_C = 10$

Теперь у нас есть три независимые системы уравнений для каждой из координат.

Система уравнений для координат $x$:

$\begin{cases} x_A + x_B = -2 \\ x_B + x_C = 10 \\ x_A + x_C = 6 \end{cases}$

Сложим все три уравнения: $(x_A + x_B) + (x_B + x_C) + (x_A + x_C) = -2 + 10 + 6$.

$2x_A + 2x_B + 2x_C = 14$, что можно упростить до $x_A + x_B + x_C = 7$.

Теперь, вычитая из этого уравнения каждое из исходных, найдем координаты:

$x_C = (x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_B) = 7 - (-2) = 9$.

$x_A = (x_A + x_B + x_C) - (x_B + x_C) = 7 - 10 = -3$.

$x_B = (x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_C) = 7 - 6 = 1$.

Система уравнений для координат $y$:

$\begin{cases} y_A + y_B = 4 \\ y_B + y_C = -4 \\ y_A + y_C = -6 \end{cases}$

Сложим все три уравнения: $(y_A + y_B) + (y_B + y_C) + (y_A + y_C) = 4 - 4 - 6$.

$2y_A + 2y_B + 2y_C = -6$, что можно упростить до $y_A + y_B + y_C = -3$.

Найдем координаты:

$y_C = (y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_B) = -3 - 4 = -7$.

$y_A = (y_A + y_B + y_C) - (y_B + y_C) = -3 - (-4) = 1$.

$y_B = (y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_C) = -3 - (-6) = 3$.

Система уравнений для координат $z$:

$\begin{cases} z_A + z_B = 8 \\ z_B + z_C = 2 \\ z_A + z_C = 10 \end{cases}$

Сложим все три уравнения: $(z_A + z_B) + (z_B + z_C) + (z_A + z_C) = 8 + 2 + 10$.

$2z_A + 2z_B + 2z_C = 20$, что можно упростить до $z_A + z_B + z_C = 10$.

Найдем координаты:

$z_C = (z_A + z_B + z_C) - (z_A + z_B) = 10 - 8 = 2$.

$z_A = (z_A + z_B + z_C) - (z_B + z_C) = 10 - 2 = 8$.

$z_B = (z_A + z_B + z_C) - (z_A + z_C) = 10 - 10 = 0$.

Таким образом, координаты вершин треугольника:

$A(-3; 1; 8)$, $B(1; 3; 0)$, $C(9; -7; 2)$.

Ответ: $(-3; 1; 8)$, $(1; 3; 0)$, $(9; -7; 2)$.

1.35. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны координаты четырёх вершин: $A(2; -1; 1)$, $B(1; 3; 4)$, $D(6; 0; 1)$, $A_1(4; 2; 0)$. Найдите координаты остальных вершин параллелепипеда.

Для нахождения координат остальных вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся свойствами векторов. В параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны, что означает равенство соответствующих векторов.

Известны координаты вершин: $A(2; -1; 1)$, $B(1; 3; 4)$, $D(6; 0; 1)$, $A_1(4; 2; 0)$.

Необходимо найти координаты вершин $C$, $B_1$, $D_1$, $C_1$.

Сначала найдем векторы, исходящие из вершины $A$ и определяющие параллелепипед:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (1-2; 3-(-1); 4-1) = (-1; 4; 3)$.

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (6-2; 0-(-1); 1-1) = (4; 1; 0)$.

$\vec{AA_1} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (4-2; 2-(-1); 0-1) = (2; 3; -1)$.

Теперь, используя эти векторы, найдем координаты недостающих вершин.

Нахождение координат вершины C

Основание $ABCD$ является параллелограммом, поэтому выполняется векторное равенство $\vec{DC} = \vec{AB}$. Координаты точки $C$ можно выразить через координаты точек $A, B, D$ по правилу параллелограмма: $\vec{OC} = \vec{OD} + \vec{DC} = \vec{OD} + \vec{AB}$. В координатной форме это можно записать как $C = D + B - A$.

Вычислим координаты точки $C$:

$x_C = x_D + x_B - x_A = 6 + 1 - 2 = 5$

$y_C = y_D + y_B - y_A = 0 + 3 - (-1) = 4$

$z_C = z_D + z_B - z_A = 1 + 4 - 1 = 4$

Ответ: $C(5; 4; 4)$

Нахождение координат вершины B₁

В параллелепипеде ребра $BB_1$ и $AA_1$ параллельны и равны, следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$. Чтобы найти координаты $B_1$, нужно к координатам $B$ прибавить координаты вектора $\vec{AA_1}$.

$B_1 = B + \vec{AA_1} = (1; 3; 4) + (2; 3; -1) = (1+2; 3+3; 4+(-1)) = (3; 6; 3)$.

Ответ: $B_1(3; 6; 3)$

Нахождение координат вершины D₁

Аналогично, ребра $DD_1$ и $AA_1$ параллельны и равны, значит $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$. Чтобы найти координаты $D_1$, нужно к координатам $D$ прибавить координаты вектора $\vec{AA_1}$.

$D_1 = D + \vec{AA_1} = (6; 0; 1) + (2; 3; -1) = (6+2; 0+3; 1+(-1)) = (8; 3; 0)$.

Ответ: $D_1(8; 3; 0)$

Нахождение координат вершины C₁

Для нахождения координат $C_1$ воспользуемся равенством $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$. К координатам найденной ранее точки $C$ прибавим координаты вектора $\vec{AA_1}$.

$C_1 = C + \vec{AA_1} = (5; 4; 4) + (2; 3; -1) = (5+2; 4+3; 4+(-1)) = (7; 7; 3)$.

Ответ: $C_1(7; 7; 3)$

1.36. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. Найдите координаты точки $K$, если $A(5; 3; -4)$, $B(2; -1; -4)$, $C(-7; 3; 1)$.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $AK$ в треугольнике $ABC$ это свойство записывается в виде соотношения:
$ \frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC} $

Сначала найдем длины сторон $AB$ и $AC$, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.
Даны координаты вершин: $A(5; 3; -4)$, $B(2; -1; -4)$ и $C(-7; 3; 1)$.
Длина стороны $AB$:
$ AB = \sqrt{(2-5)^2 + (-1-3)^2 + (-4 - (-4))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $.
Длина стороны $AC$:
$ AC = \sqrt{(-7-5)^2 + (3-3)^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{(-12)^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 $.

Теперь мы можем найти отношение, в котором точка $K$ делит отрезок $BC$:
$ \frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{13} $.

Координаты точки $K(x_K; y_K; z_K)$, которая делит отрезок, соединяющий точки $B(x_B; y_B; z_B)$ и $C(x_C; y_C; z_C)$ в отношении $m:n$ (в данном случае $5:13$), вычисляются по формулам:
$ x_K = \frac{n \cdot x_B + m \cdot x_C}{m+n} $
$ y_K = \frac{n \cdot y_B + m \cdot y_C}{m+n} $
$ z_K = \frac{n \cdot z_B + m \cdot z_C}{m+n} $
Подставим координаты точек $B(2; -1; -4)$, $C(-7; 3; 1)$ и значения $m=5$, $n=13$:
$ x_K = \frac{13 \cdot 2 + 5 \cdot (-7)}{13+5} = \frac{26 - 35}{18} = \frac{-9}{18} = -\frac{1}{2} $.
$ y_K = \frac{13 \cdot (-1) + 5 \cdot 3}{13+5} = \frac{-13 + 15}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} $.
$ z_K = \frac{13 \cdot (-4) + 5 \cdot 1}{13+5} = \frac{-52 + 5}{18} = -\frac{47}{18} $.

Таким образом, координаты точки $K$ равны $ (-\frac{1}{2}; \frac{1}{9}; -\frac{47}{18}) $.

Ответ: $K(-\frac{1}{2}; \frac{1}{9}; -\frac{47}{18})$.

1.37. Отрезок $BM$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите координаты точки $M$, если $A(3; 1; -3)$, $B(7; -1; 1)$, $C(1; 7; 1)$.

Поскольку отрезок BM является биссектрисой треугольника ABC, точка M лежит на стороне AC. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$ \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} $$

Для нахождения координат точки M необходимо сначала вычислить длины сторон AB и BC. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$:

$$ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} $$

Найдем длину стороны AB, зная координаты точек A(3; 1; -3) и B(7; -1; 1):

$$ AB = \sqrt{(7-3)^2 + (-1-1)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6 $$

Найдем длину стороны BC, зная координаты точек B(7; -1; 1) и C(1; 7; 1):

$$ BC = \sqrt{(1-7)^2 + (7-(-1))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $$

Теперь определим отношение, в котором точка M делит отрезок AC:

$$ \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$

Таким образом, точка M делит отрезок AC в отношении $3:5$. Для нахождения координат точки M воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении. Если точка M делит отрезок с концами A$(x_A, y_A, z_A)$ и C$(x_C, y_C, z_C)$ в отношении $m:n$, ее координаты вычисляются так:

$$ x_M = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_C}{m+n}, \quad y_M = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_C}{m+n}, \quad z_M = \frac{n \cdot z_A + m \cdot z_C}{m+n} $$

Подставим координаты точек A(3; 1; -3), C(1; 7; 1) и отношение $m=3$, $n=5$:

$$ x_M = \frac{5 \cdot 3 + 3 \cdot 1}{3+5} = \frac{15+3}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} $$

$$ y_M = \frac{5 \cdot 1 + 3 \cdot 7}{3+5} = \frac{5+21}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} $$

$$ z_M = \frac{5 \cdot (-3) + 3 \cdot 1}{3+5} = \frac{-15+3}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} $$

Следовательно, координаты точки M: $(\frac{9}{4}; \frac{13}{4}; -\frac{3}{2})$.

Ответ: $M(\frac{9}{4}; \frac{13}{4}; -\frac{3}{2})$

1.38. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6 см. Найдите расстояние от середины ребра $B_1C_1$ до точки пересечения медиан треугольника $BA_1D$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину A куба в начало координат (0;0;0). Направим ось Ox вдоль ребра AD, ось Oy вдоль ребра AB, и ось Oz вдоль ребра $AA_1$. Поскольку длина ребра куба равна 6 см, координаты вершин, необходимых для решения, будут следующими:

• B(0; 6; 0)
• D(6; 0; 0)
• $A_1$(0; 0; 6)
• $B_1$(0; 6; 6)
• $C_1$(6; 6; 6)

Сначала найдем координаты точки, являющейся серединой ребра $B_1C_1$. Обозначим эту точку как K. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов:

$K = \left( \frac{x_{B_1} + x_{C_1}}{2}; \frac{y_{B_1} + y_{C_1}}{2}; \frac{z_{B_1} + z_{C_1}}{2} \right)$

$K = \left( \frac{0 + 6}{2}; \frac{6 + 6}{2}; \frac{6 + 6}{2} \right) = (3; 6; 6)$

Далее найдем координаты точки пересечения медиан (центроида) треугольника $BA_1D$. Обозначим эту точку как M. Координаты центроида треугольника вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его вершин:

$M = \left( \frac{x_B + x_{A_1} + x_D}{3}; \frac{y_B + y_{A_1} + y_D}{3}; \frac{z_B + z_{A_1} + z_D}{3} \right)$

$M = \left( \frac{0 + 0 + 6}{3}; \frac{6 + 0 + 0}{3}; \frac{0 + 6 + 0}{3} \right) = (2; 2; 2)$

Теперь, имея координаты обеих точек K(3; 6; 6) и M(2; 2; 2), мы можем найти расстояние между ними по формуле расстояния в пространстве:

$d = \sqrt{(x_M - x_K)^2 + (y_M - y_K)^2 + (z_M - z_K)^2}$

$d = \sqrt{(2 - 3)^2 + (2 - 6)^2 + (2 - 6)^2}$

$d = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + (-4)^2}$

$d = \sqrt{1 + 16 + 16} = \sqrt{33}$

Таким образом, искомое расстояние равно $\sqrt{33}$ см.

Ответ: $\sqrt{33}$ см.