Номер 1.37, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.37. Отрезок $BM$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите координаты точки $M$, если $A(3; 1; -3)$, $B(7; -1; 1)$, $C(1; 7; 1)$.

Поскольку отрезок BM является биссектрисой треугольника ABC, точка M лежит на стороне AC. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$ \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} $$

Для нахождения координат точки M необходимо сначала вычислить длины сторон AB и BC. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$:

$$ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} $$

Найдем длину стороны AB, зная координаты точек A(3; 1; -3) и B(7; -1; 1):

$$ AB = \sqrt{(7-3)^2 + (-1-1)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6 $$

Найдем длину стороны BC, зная координаты точек B(7; -1; 1) и C(1; 7; 1):

$$ BC = \sqrt{(1-7)^2 + (7-(-1))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $$

Теперь определим отношение, в котором точка M делит отрезок AC:

$$ \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$

Таким образом, точка M делит отрезок AC в отношении $3:5$. Для нахождения координат точки M воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении. Если точка M делит отрезок с концами A$(x_A, y_A, z_A)$ и C$(x_C, y_C, z_C)$ в отношении $m:n$, ее координаты вычисляются так:

$$ x_M = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_C}{m+n}, \quad y_M = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_C}{m+n}, \quad z_M = \frac{n \cdot z_A + m \cdot z_C}{m+n} $$

Подставим координаты точек A(3; 1; -3), C(1; 7; 1) и отношение $m=3$, $n=5$:

$$ x_M = \frac{5 \cdot 3 + 3 \cdot 1}{3+5} = \frac{15+3}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} $$

$$ y_M = \frac{5 \cdot 1 + 3 \cdot 7}{3+5} = \frac{5+21}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} $$

$$ z_M = \frac{5 \cdot (-3) + 3 \cdot 1}{3+5} = \frac{-15+3}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} $$

Следовательно, координаты точки M: $(\frac{9}{4}; \frac{13}{4}; -\frac{3}{2})$.

Ответ: $M(\frac{9}{4}; \frac{13}{4}; -\frac{3}{2})$