Номер 1.43, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.43. Точки $M, N$ и $K$ принадлежат соответственно рёбрам $AA_1, B_1C_1$ и $CD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 1. Какое наименьшее значение может принимать сумма $MN^2 + NK^2 + KM^2$?

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $D$ куба совпадает с началом координат, а ребра $DA$, $DC$ и $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Поскольку ребро куба равно 1, координаты вершин куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ будут следующими: $D(0,0,0)$, $A(1,0,0)$, $C(0,1,0)$, $B(1,1,0)$, $D_1(0,0,1)$, $A_1(1,0,1)$, $C_1(0,1,1)$, $B_1(1,1,1)$.

Определим координаты точек $M, N, K$ через параметры.

• Точка $M$ принадлежит ребру $AA_1$. Координаты любой точки на этом ребре можно записать как $M(1, 0, m)$, где $m$ — это расстояние от точки $A$ до точки $M$. Условие $M \in AA_1$ означает, что $0 \le m \le 1$.
• Точка $N$ принадлежит ребру $B_1C_1$. Координаты любой точки на этом ребре можно записать как $N(n, 1, 1)$, где $n$ — это x-координата точки $N$. Условие $N \in B_1C_1$ означает, что $0 \le n \le 1$.
• Точка $K$ принадлежит ребру $CD$. Координаты любой точки на этом ребре можно записать как $K(0, k, 0)$, где $k$ — это расстояние от точки $D$ до точки $K$. Условие $K \in CD$ означает, что $0 \le k \le 1$.

Теперь найдем квадраты расстояний между этими точками (квадраты длин сторон треугольника $MNK$), используя формулу квадрата расстояния между двумя точками в пространстве $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

$MN^2 = (1-n)^2 + (0-1)^2 + (m-1)^2 = (1-n)^2 + 1 + (m-1)^2$

$NK^2 = (n-0)^2 + (1-k)^2 + (1-0)^2 = n^2 + (1-k)^2 + 1$

$KM^2 = (0-1)^2 + (k-0)^2 + (0-m)^2 = 1 + k^2 + m^2$

Сложим эти выражения, чтобы найти искомую сумму $S = MN^2 + NK^2 + KM^2$:

$S = \left((1-n)^2 + 1 + (m-1)^2\right) + \left(n^2 + (1-k)^2 + 1\right) + \left(1 + k^2 + m^2\right)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$S = (1 - 2n + n^2) + 1 + (m^2 - 2m + 1) + n^2 + (1 - 2k + k^2) + 1 + 1 + k^2 + m^2$

$S = (n^2 + n^2 - 2n) + (m^2 + m^2 - 2m) + (k^2 + k^2 - 2k) + (1+1+1+1+1+1)$

$S = 2n^2 - 2n + 2m^2 - 2m + 2k^2 - 2k + 6$

Нам нужно найти наименьшее значение этой суммы при условиях $m \in [0, 1]$, $n \in [0, 1]$ и $k \in [0, 1]$. Выражение для $S$ можно представить как сумму трех независимых функций от $m$, $n$ и $k$ плюс константа:

$S(m,n,k) = (2m^2 - 2m) + (2n^2 - 2n) + (2k^2 - 2k) + 6$

Рассмотрим функцию $f(x) = 2x^2 - 2x$ на отрезке $[0, 1]$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение на отрезке достигается в вершине, если вершина принадлежит этому отрезку. Абсцисса вершины параболы $ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$.

Для функции $f(x) = 2x^2 - 2x$ вершина находится в точке $x_0 = -(-2) / (2 \cdot 2) = 2/4 = 1/2$.

Поскольку $1/2 \in [0, 1]$, наименьшее значение функции $f(x)$ на этом отрезке достигается именно в этой точке.

Минимальное значение $f(x)$ на отрезке $[0, 1]$ равно:

$f(1/2) = 2(1/2)^2 - 2(1/2) = 2(1/4) - 1 = 1/2 - 1 = -1/2$.

Чтобы минимизировать сумму $S$, мы должны минимизировать каждое из трех слагаемых $(2m^2 - 2m)$, $(2n^2 - 2n)$ и $(2k^2 - 2k)$ независимо. Это произойдет, когда каждая из переменных будет равна $1/2$.

Наименьшее значение суммы $S$ равно:

$S_{min} = f(1/2) + f(1/2) + f(1/2) + 6 = (-1/2) + (-1/2) + (-1/2) + 6 = -3/2 + 12/2 = 9/2 = 4,5$

Таким образом, наименьшее значение суммы $MN^2 + NK^2 + KM^2$ достигается, когда точки $M, N, K$ являются серединами соответствующих ребер.

Ответ: 4,5