Номер 1.46, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.46. Основания равнобокой трапеции равны 13 см и 37 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Обозначим данную равнобокую трапецию как ABCD, где AD и BC — её основания.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
- Длина меньшего основания: $b = BC = 13$ см.
- Длина большего основания: $a = AD = 37$ см.
- Трапеция является равнобокой, что означает равенство боковых сторон ($AB = CD$) и равенство диагоналей ($AC = BD$).
- Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Требуется найти площадь трапеции $S$.

Площадь трапеции вычисляется по стандартной формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.

Чтобы найти площадь, нам необходимо определить высоту $h$. Для этого воспользуемся свойствами трапеции. Пусть диагонали пересекаются в точке O.

В равнобокой трапеции треугольники, образованные основаниями и отрезками диагоналей, являются равнобедренными. То есть, $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ — равнобедренные ($BO=CO$ и $AO=DO$). Поскольку диагонали по условию перпендикулярны, то углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ равны $90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Проведем высоту трапеции через точку O. Эта высота $h$ будет суммой высот $h_1$ и $h_2$ треугольников $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ соответственно, проведенных из вершины O к основаниям (гипотенузам) BC и AD. Таким образом, $h = h_1 + h_2$.

Известно, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине длины этой гипотенузы.

Для треугольника $\triangle BOC$ гипотенузой является основание BC. Его высота $h_1$ равна: $h_1 = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2}$ см.

Аналогично, для треугольника $\triangle AOD$ гипотенузой является основание AD. Его высота $h_2$ равна: $h_2 = \frac{AD}{2} = \frac{37}{2}$ см.

Теперь найдем полную высоту трапеции $h$, сложив ее части: $h = h_1 + h_2 = \frac{13}{2} + \frac{37}{2} = \frac{13+37}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

Зная высоту и длины оснований, мы можем вычислить площадь трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{37+13}{2} \cdot 25 = \frac{50}{2} \cdot 25 = 25 \cdot 25 = 625 \text{ см}^2$.

Таким образом, для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями ее высота равна полусумме оснований, а площадь — квадрату полусуммы оснований.

Ответ: $625 \text{ см}^2$.