Номер 1.39, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.39. Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 2 см, а боковое ребро равно 4 см. Точки $K$ и $M$ — середины рёбер $BB_1$ и $A_1C_1$ соответственно. Найдите расстояние от точки $M$ до точки пересечения медиан треугольника $AKC$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в точке A, ось Ox направлена вдоль ребра AC, ось Oz — вдоль бокового ребра AA₁, а ось Oy перпендикулярна плоскости (AA₁C).

Поскольку призма правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник ABC со стороной 2, а боковое ребро равно 4 и перпендикулярно основанию. В выбранной системе координат определим координаты вершин призмы:

A(0, 0, 0) — начало координат.
C(2, 0, 0) — так как точка C лежит на оси Ox и $|AC|=2$.
B(1, $\sqrt{3}$, 0) — так как проекция B на ось Ox это середина AC (x=1), а проекция на ось Oy равна высоте треугольника $h = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
A₁(0, 0, 4), B₁(1, $\sqrt{3}$, 4), C₁(2, 0, 4) — координаты верхнего основания получаются сдвигом нижнего на 4 единицы по оси Oz.

Найдем координаты точек K и M.
Точка K является серединой ребра BB₁, поэтому ее координаты — это полусумма координат B и B₁: $K = \left(\frac{1+1}{2}; \frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}; \frac{0+4}{2}\right) = (1, \sqrt{3}, 2)$.
Точка M является серединой ребра A₁C₁, ее координаты — это полусумма координат A₁ и C₁: $M = \left(\frac{0+2}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{4+4}{2}\right) = (1, 0, 4)$.

Пусть G — точка пересечения медиан (центроид) треугольника AKC. Координаты центроида равны среднему арифметическому координат вершин A(0, 0, 0), K(1, $\sqrt{3}$, 2) и C(2, 0, 0):
$G_x = \frac{0+1+2}{3} = 1$
$G_y = \frac{0+\sqrt{3}+0}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$G_z = \frac{0+2+0}{3} = \frac{2}{3}$
Таким образом, точка G имеет координаты $G\left(1, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3}\right)$.

Искомое расстояние — это длина отрезка MG. Найдем ее по формуле расстояния между точками M и G в пространстве:
$MG = \sqrt{(x_M - x_G)^2 + (y_M - y_G)^2 + (z_M - z_G)^2}$
$MG = \sqrt{(1-1)^2 + \left(0-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(4-\frac{2}{3}\right)^2}$
$MG = \sqrt{0 + \frac{3}{9} + \left(\frac{10}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{9} + \frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{103}{9}} = \frac{\sqrt{103}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{103}}{3}$.