Номер 1.33, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.33. Найдите точку, расстояние от которой до плоскости $xy$ равно 2 и равноудалённую от точек $A(1; 0; 0)$, $B(0; 1; 0)$ и $C(0; 0; 1)$.

Пусть искомая точка имеет координаты $M(x; y; z)$.

По условию задачи, расстояние от точки $M$ до плоскости $xy$ равно 2. Уравнение плоскости $xy$ — это $z=0$. Расстояние от точки $(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $xy$ вычисляется как $|z_0|$. Следовательно, для точки $M(x; y; z)$ это расстояние равно $|z|$.

Получаем первое условие: $|z| = 2$, что означает $z = 2$ или $z = -2$.

Второе условие задачи заключается в том, что точка $M$ равноудалена от точек $A(1; 0; 0)$, $B(0; 1; 0)$ и $C(0; 0; 1)$. Это означает, что расстояния $MA$, $MB$ и $MC$ равны:

$MA = MB = MC$

Для удобства будем использовать квадраты расстояний:

$MA^2 = MB^2 = MC^2$

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

$MA^2 = (x-1)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = (x-1)^2 + y^2 + z^2$

$MB^2 = (x-0)^2 + (y-1)^2 + (z-0)^2 = x^2 + (y-1)^2 + z^2$

$MC^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-1)^2 = x^2 + y^2 + (z-1)^2$

Теперь составим систему уравнений.

1. Приравняем $MA^2$ и $MB^2$:

$(x-1)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y-1)^2 + z^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 + z^2$

$-2x = -2y$

$x = y$

2. Приравняем $MB^2$ и $MC^2$:

$x^2 + (y-1)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z-1)^2$

$x^2 + y^2 - 2y + 1 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2z + 1$

$-2y = -2z$

$y = z$

Из этих двух равенств следует, что $x = y = z$.

Теперь объединим оба условия, найденные для точки $M(x; y; z)$:

1. $x = y = z$

2. $z = 2$ или $z = -2$

Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: $z = 2$.

Поскольку $x = y = z$, то $x = 2$ и $y = 2$. Получаем точку $M_1(2; 2; 2)$.

Случай 2: $z = -2$.

Поскольку $x = y = z$, то $x = -2$ и $y = -2$. Получаем точку $M_2(-2; -2; -2)$.

Таким образом, существуют две точки, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: (2; 2; 2) и (-2; -2; -2).