Номер 1.45, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.45. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$.

Ребро $MA$ перпендикулярно плоскости основания. Известно, что $AB = 3$ см, $AD = 4$ см и $AM = 2$ см. Плоскость, перпендикулярная ребру $MC$ и проходящая через его середину, пересекает прямые $AB$ и $AD$ в точках $K$ и $P$ соответственно. Найдите отрезок $KP$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A. Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy — вдоль ребра AD, а ось Oz — вдоль ребра AM. Поскольку ребро MA перпендикулярно плоскости основания ABCD, а основание является прямоугольником (следовательно, $AB \perp AD$), выбранные оси будут взаимно перпендикулярны.

В этой системе координат вершины пирамиды будут иметь следующие координаты, исходя из данных задачи ($AB = 3$ см, $AD = 4$ см, $AM = 2$ см):
A(0, 0, 0)
B(3, 0, 0)
D(0, 4, 0)
C(3, 4, 0)
M(0, 0, 2)

По условию, секущая плоскость (назовем ее $\alpha$) перпендикулярна ребру MC и проходит через его середину. Найдем координаты середины N отрезка MC:
$N = (\frac{x_M+x_C}{2}; \frac{y_M+y_C}{2}; \frac{z_M+z_C}{2}) = (\frac{0+3}{2}; \frac{0+4}{2}; \frac{2+0}{2}) = (1.5; 2; 1)$.

Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой MC, то вектор $\vec{MC}$ является вектором нормали для этой плоскости. Найдем его координаты:
$\vec{MC} = \{x_C - x_M; y_C - y_M; z_C - z_M\} = \{3 - 0; 4 - 0; 0 - 2\} = \{3; 4; -2\}$.

Уравнение плоскости с нормальным вектором $\vec{n} = \{a; b; c\}$, проходящей через точку $T(x_0; y_0; z_0)$, имеет вид: $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$. Подставим координаты точки N(1.5; 2; 1) и вектора нормали $\vec{MC} = \{3; 4; -2\}$:
$3(x - 1.5) + 4(y - 2) - 2(z - 1) = 0$
$3x - 4.5 + 4y - 8 - 2z + 2 = 0$
$3x + 4y - 2z - 10.5 = 0$Это и есть уравнение плоскости $\alpha$.

Точка K — это точка пересечения плоскости $\alpha$ с прямой AB. Прямая AB совпадает с осью Ox, поэтому для любой точки на этой прямой координаты $y=0$ и $z=0$. Подставим их в уравнение плоскости, чтобы найти x-координату точки K:
$3x + 4(0) - 2(0) - 10.5 = 0$
$3x = 10.5$
$x = 3.5$
Следовательно, координаты точки K: (3.5; 0; 0).

Точка P — это точка пересечения плоскости $\alpha$ с прямой AD. Прямая AD совпадает с осью Oy, поэтому для любой точки на этой прямой $x=0$ и $z=0$. Подставим их в уравнение плоскости, чтобы найти y-координату точки P:
$3(0) + 4y - 2(0) - 10.5 = 0$
$4y = 10.5$
$y = \frac{10.5}{4} = \frac{21}{8} = 2.625$
Следовательно, координаты точки P: (0; 2.625; 0).

Теперь найдем длину отрезка KP, используя формулу расстояния между двумя точками K(3.5; 0; 0) и P(0; 2.625; 0). Так как обе точки лежат в плоскости Oxy (плоскости основания), задача сводится к нахождению гипотенузы в прямоугольном треугольнике AKP с катетами $AK = 3.5$ и $AP = 2.625$.
$KP = \sqrt{(x_K - x_P)^2 + (y_K - y_P)^2 + (z_K - z_P)^2}$
$KP = \sqrt{(3.5 - 0)^2 + (0 - 2.625)^2 + (0 - 0)^2}$
$KP = \sqrt{3.5^2 + (-2.625)^2} = \sqrt{(\frac{7}{2})^2 + (\frac{21}{8})^2}$
$KP = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{441}{64}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 16}{64} + \frac{441}{64}} = \sqrt{\frac{784 + 441}{64}} = \sqrt{\frac{1225}{64}}$
$KP = \frac{\sqrt{1225}}{\sqrt{64}} = \frac{35}{8} = 4.375$.
Ответ: $\frac{35}{8}$ см.