Номер 2.4, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.4. Точки $M$ и $K$ — середины соответственно рёбер $CD$ и $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:

1) сонаправлены с вектором $\vec{AD}$;

2) противоположно направлены с вектором $\vec{MK}$;

3) имеют равные модули с вектором $\vec{AC_1}$.

1) сонаправлены с вектором $\overrightarrow{AD}$

Сонаправленными называются векторы, которые лежат на параллельных прямых (или на одной прямой) и направлены в одну сторону. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$, $A_1D_1$ и $B_1C_1$ параллельны ребру $AD$. Векторы, построенные на этих рёбрах и имеющие то же направление, что и $\overrightarrow{AD}$, будут ему сонаправлены. Это векторы $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{B_1C_1}$.

Ответ: $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{A_1D_1}$, $\overrightarrow{B_1C_1}$.

2) противоположно направлены с вектором $\overrightarrow{MK}$

Рассмотрим треугольник $CDC_1$. Поскольку точки $M$ и $K$ являются серединами его сторон $CD$ и $CC_1$ соответственно, отрезок $MK$ — это средняя линия $\triangle CDC_1$. По свойству средней линии, $MK \parallel DC_1$ и $MK = \frac{1}{2}DC_1$. Отсюда следует, что вектор $\overrightarrow{MK}$ сонаправлен с вектором $\overrightarrow{DC_1}$.

Следовательно, задача сводится к поиску векторов с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые противоположно направлены вектору $\overrightarrow{DC_1}$.

Такими векторами являются $\overrightarrow{C_1D}$ (так как он имеет ту же длину, что и $\overrightarrow{DC_1}$, но противоположное направление) и $\overrightarrow{B_1A}$. Вектор $\overrightarrow{B_1A}$ подходит, так как в параллелепипеде диагонали противоположных граней $CDD_1C_1$ и $ABB_1A_1$ параллельны и равны, то есть $\overrightarrow{DC_1} = \overrightarrow{AB_1}$. Вектор, противоположный $\overrightarrow{AB_1}$, — это $\overrightarrow{B_1A}$.

Ответ: $\overrightarrow{C_1D}$, $\overrightarrow{B_1A}$.

3) имеют равные модули с вектором $\overrightarrow{AC_1}$

Модуль вектора — это его длина. Нам нужно найти все векторы, начало и конец которых находятся в вершинах параллелепипеда, а длина равна длине вектора $\overrightarrow{AC_1}$.

Вектор $\overrightarrow{AC_1}$ соответствует пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда. В прямоугольном параллелепипеде все четыре пространственные диагонали равны по длине: $AC_1 = BD_1 = A_1C = B_1D$.

Следовательно, искомыми являются все векторы, соответствующие этим диагоналям. Для каждой диагонали существует два противоположно направленных вектора. Перечислим их все: $\overrightarrow{AC_1}$, $\overrightarrow{C_1A}$, $\overrightarrow{BD_1}$, $\overrightarrow{D_1B}$, $\overrightarrow{A_1C}$, $\overrightarrow{CA_1}$, $\overrightarrow{B_1D}$ и $\overrightarrow{DB_1}$.

Ответ: $\overrightarrow{AC_1}$, $\overrightarrow{C_1A}$, $\overrightarrow{BD_1}$, $\overrightarrow{D_1B}$, $\overrightarrow{A_1C}$, $\overrightarrow{CA_1}$, $\overrightarrow{B_1D}$, $\overrightarrow{DB_1}$.