Номер 1.47, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.47. По разные стороны от центра окружности проведены две параллельные хорды длиной 16 см и 10 см. Найдите радиус окружности, если расстояние между хордами равно 9 см.

Пусть $O$ - центр окружности, $R$ - ее радиус. Пусть $AB$ и $CD$ - две параллельные хорды, расположенные по разные стороны от центра. По условию, $AB = 16$ см, $CD = 10$ см.

Проведем из центра окружности перпендикуляр $MN$ к этим хордам, где точка $M$ лежит на хорде $AB$, а точка $N$ - на хорде $CD$. Так как хорды параллельны, $MN$ является расстоянием между ними, то есть $MN = 9$ см.

Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно:
$AM = MB = AB / 2 = 16 / 2 = 8$ см.
$CN = ND = CD / 2 = 10 / 2 = 5$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$. Гипотенузы $OA$ и $OC$ являются радиусами окружности, то есть $OA = OC = R$.
По теореме Пифагора для $\triangle OMA$:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$
$R^2 = OM^2 + 8^2 = OM^2 + 64$
По теореме Пифагора для $\triangle ONC$:
$OC^2 = ON^2 + CN^2$
$R^2 = ON^2 + 5^2 = ON^2 + 25$

Так как хорды находятся по разные стороны от центра, расстояние между ними равно сумме расстояний от центра до каждой хорды: $MN = OM + ON = 9$ см.
Пусть $OM = x$, тогда $ON = 9 - x$.

Приравняем выражения для $R^2$:
$OM^2 + 64 = ON^2 + 25$
Подставим выражения через $x$:
$x^2 + 64 = (9 - x)^2 + 25$
$x^2 + 64 = 81 - 18x + x^2 + 25$
$64 = 106 - 18x$
$18x = 106 - 64$
$18x = 42$
$x = 42/18 = 7/3$
Итак, $OM = 7/3$ см.

Теперь найдем радиус, подставив значение $OM$ в первое уравнение для $R^2$:
$R^2 = OM^2 + 64 = (7/3)^2 + 64$
$R^2 = 49/9 + 64 = 49/9 + 576/9$
$R^2 = 625/9$
$R = \sqrt{625/9} = 25/3 = 8 \frac{1}{3}$ см.

Ответ: радиус окружности равен $25/3$ см или $8 \frac{1}{3}$ см.