Номер 14, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 14, страница 115.

Условие.

15.14. Треугольник $ABC$ является основанием пирамиды $DABC$, $AB = BC$, $AC = a$, $\angle BAC = \alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ – искомый радиус вписанного шара, а $r$ – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, треугольник $ABC$.

По условию, двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\beta$. Это свойство означает, что вершина пирамиды $D$ проецируется в центр $O$ окружности, вписанной в основание. Высота пирамиды – это отрезок $DO$.

Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды. Радиус вписанного шара $R$, радиус вписанной в основание окружности $r$ и двугранный угол $\beta$ связаны соотношением: $R = r \cdot \tan(\frac{\beta}{2})$.
Чтобы обосновать эту формулу, рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $DO$ и перпендикулярной стороне основания $AC$. Пусть $K$ – точка касания вписанной окружности со стороной $AC$. Тогда $OK \perp AC$ и $OK=r$. Треугольник $DOK$ является прямоугольным, и его угол $\angle DKO = \beta$ – это линейный угол данного двугранного угла. Центр вписанного шара $I$ лежит на $DO$ и равноудален от плоскости основания и боковой грани $DAC$. Следовательно, $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle DKO$. В прямоугольном треугольнике $OKI$ катет $IO=R$, катет $OK=r$ и $\angle OKI = \frac{\beta}{2}$. Из этого треугольника получаем $\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{IO}{OK} = \frac{R}{r}$, откуда и следует формула.

Теперь найдем радиус $r$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Основание – равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AC = a$ и $\angle BAC = \alpha$.
Пусть $O$ – центр вписанной окружности. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой, поэтому $H$ – середина $AC$, и $AH = \frac{a}{2}$. Центр $O$ лежит на $BH$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$. Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, поэтому $\angle OAH = \frac{\alpha}{2}$. Радиус вписанной окружности $r$ равен длине отрезка $OH$ (так как $O$ лежит на высоте $BH$, то $OH \perp AC$).
Из треугольника $AOH$ находим:
$\tan(\angle OAH) = \frac{OH}{AH} \implies \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{a/2}$
Отсюда $r = \frac{a}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Наконец, подставим найденное выражение для $r$ в формулу для радиуса вписанного шара:
$R = r \cdot \tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{a}{2} \tan(\frac{\alpha}{2}) \cdot \tan(\frac{\beta}{2})$.

Ответ: $R = \frac{a}{2} \tan\frac{\alpha}{2} \tan\frac{\beta}{2}$.