Номер 16, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 16, страница 115.

Условие.

15.16. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. В каком отношении центр вписанного в эту пирамиду шара делит её высоту, считая от вершины пирамиды?

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $SH$ — её высота, где $H$ — основание высоты, лежащее в плоскости основания пирамиды.Поскольку все двугранные углы при рёбрах основания равны, то вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности. Таким образом, точка $H$ — это центр вписанной окружности многоугольника, лежащего в основании.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SH$ и апофему $SK$ какой-либо боковой грани (где $K$ — основание апофемы, лежащее на ребре основания). Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SHK$, в котором катет $SH$ — высота пирамиды, катет $HK$ — радиус вписанной в основание окружности ($r_b$), а гипотенуза $SK$ — апофема боковой грани.

Угол $SKH$ в этом треугольнике является линейным углом двугранного угла при ребре основания. По условию, этот угол равен $45^\circ$.Таким образом, в прямоугольном треугольнике $SHK$ имеем:$ \angle SHK = 90^\circ $$ \angle SKH = 45^\circ $

Из этого следует, что треугольник $SHK$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его катеты равны: $SH = HK$. То есть, высота пирамиды $h$ равна радиусу вписанной в основание окружности $r_b$.

Центр вписанного в пирамиду шара, обозначим его $O$, лежит на высоте пирамиды $SH$. Это точка, равноудалённая от всех граней пирамиды (от основания и от боковых граней). Точка $O$ является точкой пересечения высоты $SH$ с биссектрисами двугранных углов.В нашем сечении (треугольнике $SHK$) точка $O$ лежит на высоте $SH$ и одновременно на биссектрисе угла $SKH$. Пусть $KO$ — биссектриса угла $SKH$.

Применим свойство биссектрисы угла к треугольнику $SHK$. Биссектриса $KO$ делит противолежащую сторону $SH$ на отрезки $SO$ и $OH$, пропорциональные прилежащим сторонам $SK$ и $HK$:$ \frac{SO}{OH} = \frac{SK}{HK} $

Найдём длину гипотенузы $SK$ в треугольнике $SHK$. Пусть $HK = r_b$, тогда $SH = r_b$. По теореме Пифагора:$ SK = \sqrt{SH^2 + HK^2} = \sqrt{r_b^2 + r_b^2} = \sqrt{2r_b^2} = r_b\sqrt{2} $

Теперь подставим найденные значения в пропорцию:$ \frac{SO}{OH} = \frac{r_b\sqrt{2}}{r_b} = \sqrt{2} $

Таким образом, центр вписанного шара делит высоту пирамиды в отношении $ \sqrt{2}:1 $, считая от вершины пирамиды.

Ответ: $ \sqrt{2} : 1 $