Номер 18, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 18, страница 115.

Условие.

15.18. Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен $45^\circ$, а радиус вписанной сферы – $\sqrt{2}$ см. Эта сфера касается одной из боковых граней пирамиды в точке $M$. Найдите длину линии пересечения данной сферы и плоскости, проходящей через точку $M$ параллельно основанию пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Пусть $O'$ — центр основания (равностороннего треугольника $ABC$), тогда $SO'$ — высота пирамиды. Пусть $K$ — середина ребра основания $BC$. Тогда $SK$ — апофема боковой грани $SBC$, а $O'K$ — радиус вписанной в основание окружности. Линейным углом двугранного угла при ребре основания $BC$ является угол $\angle SKO'$. По условию, $\angle SKO' = 45^\circ$.

Центр $O$ вписанной в пирамиду сферы лежит на высоте пирамиды $SO'$. Расстояние от центра $O$ до плоскости основания $ABC$ равно радиусу вписанной сферы $r$. Таким образом, $OO' = r = \sqrt{2}$ см. Центр вписанной сферы равноудален от всех граней пирамиды. Это означает, что в плоскости сечения $SO'K$ точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle SKO'$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO'K$ (с прямым углом при $O'$). В нем катет $OO' = r$, а угол $\angle OKO'$ равен половине двугранного угла:$\angle OKO' = \frac{1}{2} \angle SKO' = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$.Найдем длину катета $O'K$:$O'K = OO' \cdot \cot(\angle OKO') = r \cdot \cot(22.5^\circ)$.Вычислим значение котангенса:$\cot(22.5^\circ) = \cot\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = \frac{1 + \cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1$.Тогда $O'K = \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 2 + \sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SO'K$. Поскольку $\angle SKO' = 45^\circ$, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $SO' = O'K = 2 + \sqrt{2}$ см. Это высота пирамиды.

Сфера касается боковой грани $SBC$ в точке $M$. Из соображений симметрии точка $M$ лежит на апофеме $SK$. Радиус сферы $OM$, проведенный в точку касания, перпендикулярен грани $SBC$, а значит, и апофеме $SK$. Таким образом, $OM \perp SK$.

Для нахождения положения точки $M$ и ее высоты над основанием введем систему координат в плоскости сечения $SO'K$. Пусть $O'$ — начало координат, ось $Ox$ направлена вдоль луча $O'K$, а ось $Oy$ — вдоль луча $O'S$.Координаты точек:$O' = (0, 0)$$K = (O'K, 0) = (2+\sqrt{2}, 0)$$S = (0, SO') = (0, 2+\sqrt{2})$$O = (0, OO') = (0, \sqrt{2})$Точка $M(x_M, y_M)$ лежит на отрезке $SK$. Уравнение прямой $SK$: $\frac{x}{2+\sqrt{2}} + \frac{y}{2+\sqrt{2}} = 1$, или $x+y = 2+\sqrt{2}$.Так как $OM \perp SK$, вектор $\vec{OM} = (x_M, y_M - \sqrt{2})$ перпендикулярен направляющему вектору прямой $SK$, который можно взять как $\vec{s} = (1, -1)$. Их скалярное произведение равно нулю:$1 \cdot x_M - 1 \cdot (y_M - \sqrt{2}) = 0 \implies x_M - y_M + \sqrt{2} = 0$.Решим систему уравнений для координат точки $M$:$\begin{cases} x_M + y_M = 2+\sqrt{2} \\ x_M - y_M = -\sqrt{2} \end{cases}$Сложив уравнения, получим: $2x_M = 2 \implies x_M = 1$.Подставив $x_M=1$ в первое уравнение, найдем $y_M$: $1 + y_M = 2+\sqrt{2} \implies y_M = 1+\sqrt{2}$.Высота точки $M$ над плоскостью основания равна ее ординате $h_M = y_M = 1+\sqrt{2}$ см.

Плоскость, проходящая через точку $M$ параллельно основанию пирамиды, является горизонтальной плоскостью, все точки которой находятся на высоте $h_M$ от основания. Центр сферы $O$ находится на высоте $h_O = OO' = \sqrt{2}$ от основания.Расстояние $d$ от центра сферы $O$ до секущей плоскости равно разности их высот:$d = |h_M - h_O| = |(1+\sqrt{2}) - \sqrt{2}| = 1$ см.

Пересечение сферы и плоскости является окружностью. Радиус этой окружности $R_{sec}$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного радиусом сферы $r$, расстоянием $d$ и радиусом сечения $R_{sec}$:$r^2 = d^2 + R_{sec}^2$.Подставим известные значения:$(\sqrt{2})^2 = 1^2 + R_{sec}^2$$2 = 1 + R_{sec}^2$$R_{sec}^2 = 1 \implies R_{sec} = 1$ см.

Длина линии пересечения — это длина полученной окружности:$L = 2\pi R_{sec} = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$ см.

Ответ: $2\pi$ см.