Номер 12, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 12, страница 115.

Условие.

15.12. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро – $\sqrt{21}$ см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения радиуса $r$ вписанной в пирамиду сферы используется формула:$r = \frac{3V}{S_{полн}}$,где $V$ — объём пирамиды, а $S_{полн}$ — площадь её полной поверхности.

1. Найдём объём пирамиды $V$.
Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.
В основании лежит правильный треугольник со стороной $a = 6$ см. Его площадь:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².
Для нахождения высоты пирамиды $H$ сначала найдём радиус $R$ окружности, описанной около основания:$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.
Высота $H$, боковое ребро $l = \sqrt{21}$ см и радиус описанной окружности $R$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$H^2 + R^2 = l^2$
$H^2 + (2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{21})^2$
$H^2 + 12 = 21$
$H^2 = 9$
$H = 3$ см.
Теперь можем найти объём пирамиды:$V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3}$ см³.

2. Найдём площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$.
Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.
Площадь боковой поверхности $S_{бок} = \frac{1}{2}P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).
Периметр основания: $P = 3a = 3 \cdot 6 = 18$ см.
Для нахождения апофемы $h_a$ сначала найдём радиус $r_{осн}$ окружности, вписанной в основание:$r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.
Апофема $h_a$, высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$h_a^2 = H^2 + r_{осн}^2$
$h_a^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2$
$h_a^2 = 9 + 3 = 12$
$h_a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.
Теперь найдём площадь боковой поверхности:$S_{бок} = \frac{1}{2}P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см².
Площадь полной поверхности:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 9\sqrt{3} + 18\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см².

3. Найдём радиус вписанной сферы $r$.
Подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в формулу:$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 9\sqrt{3}}{27\sqrt{3}} = \frac{27\sqrt{3}}{27\sqrt{3}} = 1$ см.

Ответ: 1 см.