Номер 7, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 7, страница 114.

Условие.

15.7. Основанием прямой призмы является ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P \cdot H$, где $P$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Основанием призмы является ромб. Найдем его сторону $a$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Половины диагоналей равны $d_1/2 = 12/2 = 6$ см и $d_2/2 = 16/2 = 8$ см. Они образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является сторона ромба. По теореме Пифагора:
$a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Периметр ромба $P$ равен:
$P = 4a = 4 \cdot 10 = 40$ см.

Согласно условию, в призму можно вписать шар. Это возможно только в том случае, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы $H$ равна диаметру этой окружности. Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте ромба $h_{ромб}$. Следовательно, высота призмы $H = h_{ромб}$.

Найдем высоту ромба. Площадь ромба можно вычислить двумя способами: через диагонали и через сторону и высоту.
1) $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ см².
2) $S_{осн} = a \cdot h_{ромб}$.
Приравняв оба выражения, найдем $h_{ромб}$:
$10 \cdot h_{ромб} = 96$
$h_{ромб} = 9,6$ см.

Таким образом, высота призмы $H = 9,6$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = P \cdot H = 40 \cdot 9,6 = 384$ см².

Ответ: $384$ см².