Номер 3, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 3, страница 114.

Условие.

15.3. В правильную шестиугольную призму вписан шар, радиус которого равен $R$. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади боковой поверхности $S_{бок}$ и удвоенной площади основания $S_{осн}$:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Так как шар вписан в правильную шестиугольную призму, он касается обоих её оснований (верхнего и нижнего) и всех шести боковых граней.

1. Найдём высоту призмы $H$.

Поскольку шар касается верхнего и нижнего оснований, расстояние между основаниями, то есть высота призмы $H$, равно диаметру шара.

$H = 2R$

2. Найдём сторону основания призмы $a$.

Так как шар касается боковых граней, то в основание призмы (правильный шестиугольник) можно вписать окружность, радиус которой равен радиусу шара $R$. Этот радиус является апофемой правильного шестиугольника.

Связь между стороной правильного шестиугольника $a$ и радиусом вписанной в него окружности $r_{in}$ выражается формулой:

$r_{in} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае $r_{in} = R$, следовательно:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Выразим отсюда сторону $a$:

$a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

3. Найдём площадь основания $S_{осн}$.

Основание призмы — правильный шестиугольник со стороной $a$. Его площадь равна площади шести равносторонних треугольников со стороной $a$.

$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим найденное выражение для $a$:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4R^2}{3} = 2\sqrt{3}R^2$

4. Найдём площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Боковая поверхность состоит из шести одинаковых прямоугольников со сторонами $a$ и $H$.

$S_{бок} = 6 \cdot a \cdot H$

Подставим выражения для $a$ и $H$:

$S_{бок} = 6 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} \cdot 2R = \frac{24R^2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$S_{бок} = \frac{24R^2\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}R^2$

5. Найдём площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 8\sqrt{3}R^2 + 2 \cdot (2\sqrt{3}R^2) = 8\sqrt{3}R^2 + 4\sqrt{3}R^2 = 12\sqrt{3}R^2$

Ответ: $12\sqrt{3}R^2$.