Номер 6, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 6, страница 114.

Условие.

6. Каким свойством должна обладать высота правильной призмы, чтобы в неё можно было вписать сферу?

Решение 1.

Решение 3.

Для того чтобы в правильную призму можно было вписать сферу, необходимо, чтобы эта сфера касалась всех граней призмы: двух оснований (верхнего и нижнего) и всех боковых граней.

1. Касание оснований.
Центр вписанной сферы должен быть равноудалён от плоскостей верхнего и нижнего оснований. Расстояние между этими параллельными плоскостями равно высоте призмы $H$. Если радиус вписанной сферы равен $R$, то расстояние от её центра до каждого из оснований также равно $R$. Следовательно, высота призмы должна быть равна диаметру вписанной сферы.
$H = R + R = 2R$

2. Касание боковых граней.
Центр вписанной сферы также должен быть равноудалён от всех боковых граней призмы. Так как призма правильная, её основанием является правильный многоугольник, и в него можно вписать окружность. Центр этой окружности будет равноудалён от всех сторон многоугольника. Расстояние от центра основания до любой его стороны — это радиус вписанной в основание окружности, обозначим его $r$.
Для того чтобы сфера касалась боковых граней, её центр должен находиться на оси призмы (прямой, проходящей через центры оснований), а расстояние от оси до боковых граней должно быть равно радиусу сферы $R$. Это расстояние как раз и является радиусом $r$ окружности, вписанной в основание.
Следовательно, радиус сферы должен быть равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы.
$R = r$

3. Итоговое свойство.
Объединив оба условия, получаем связь между высотой призмы $H$ и радиусом вписанной в основание окружности $r$.
Из первого условия имеем $H = 2R$.
Из второго условия имеем $R = r$.
Подставив второе уравнение в первое, получаем: $H = 2r$.
Величина $2r$ — это диаметр окружности, вписанной в основание призмы.

Таким образом, основным свойством, которым должна обладать высота правильной призмы для того, чтобы в неё можно было вписать сферу, является её равенство диаметру окружности, вписанной в основание призмы.

Ответ: Высота правильной призмы должна быть равна диаметру окружности, вписанной в её основание.