Номер 31, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 31, страница 110.

Условие.

14.31. Точки A $(3; -1; 0)$, B $(1; 0; 2)$ и C $(-1; 3; 2)$ являются вершинами параллелограмма ABCD. Найдите диагональ BD.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения длины диагонали BD параллелограмма ABCD необходимо сначала определить координаты четвертой вершины D. В параллелограмме векторы противоположных сторон равны. Воспользуемся равенством векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$.

Пусть координаты точки D равны $(x_D; y_D; z_D)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точек B(1; 0; 2) и C(-1; 3; 2):
$\vec{BC} = \{x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B\} = \{-1 - 1; 3 - 0; 2 - 2\} = \{-2; 3; 0\}$.

2. Выразим координаты вектора $\vec{AD}$ через координаты точек A(3; -1; 0) и D($x_D; y_D; z_D$):
$\vec{AD} = \{x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A\} = \{x_D - 3; y_D - (-1); z_D - 0\} = \{x_D - 3; y_D + 1; z_D\}$.

3. Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, приравняем их соответствующие координаты:

• $x_D - 3 = -2 \implies x_D = -2 + 3 = 1$
• $y_D + 1 = 3 \implies y_D = 3 - 1 = 2$
• $z_D = 0$

Таким образом, координаты вершины D равны (1; 2; 0).

4. Теперь найдем длину диагонали BD. Длина отрезка (расстояние между двумя точками) в пространстве вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Подставим координаты точек B(1; 0; 2) и D(1; 2; 0) в эту формулу:
$|BD| = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8}$.

Упростим полученное значение:
$|BD| = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.