Номер 2, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 2, страница 114.

Условие.

2. В какой многогранник можно вписать сферу?

Решение 1.

Решение 3.

Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех его граней. Центр такой сферы является точкой, равноудаленной от плоскостей всех граней многогранника.

Для того чтобы в выпуклый многогранник можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы все биссекторные плоскости его двугранных углов пересекались в одной точке. Эта точка пересечения и будет центром вписанной сферы, а расстояние от этой точки до любой грани — её радиусом.

Рассмотрим это условие подробнее. Центр вписанной сферы должен находиться на одинаковом расстоянии $r$ от плоскости каждой грани. Множество всех точек пространства, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей (которые образуют двугранный угол), представляет собой биссекторную плоскость этого угла. Следовательно, центр вписанной сферы должен принадлежать биссекторной плоскости каждого двугранного угла многогранника. Если все эти плоскости пересекаются в одной точке, то эта точка равноудалена от всех граней, и в многогранник можно вписать сферу с центром в этой точке.

Примерами многогранников, в которые всегда можно вписать сферу, являются:

• Все правильные многогранники (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр).
• Любая треугольная пирамида.
• Любая правильная n-угольная пирамида.
• Прямая призма, в основание которой можно вписать окружность.

В общем случае не в любой многогранник можно вписать сферу. Например, в прямоугольный параллелепипед, не являющийся кубом, вписать сферу невозможно.

Ответ: Сферу можно вписать в такой многогранник, у которого все биссекторные плоскости его двугранных углов пересекаются в одной точке.