Номер 3, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 3, страница 114.

Условие.

3. Каким свойством должны обладать биссекторы двугранных углов при рёбрах выпуклого многогранника, чтобы в этот многогранник можно было вписать сферу?

Решение 1.

Решение 3.

Для того чтобы в выпуклый многогранник можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы существовала точка внутри многогранника, равноудалённая от всех его граней. Эта точка будет являться центром вписанной сферы, а расстояние от неё до любой из граней — радиусом этой сферы.

Рассмотрим геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся плоскостей, в которых лежат две соседние грани многогранника. Таким свойством обладает биссекторная плоскость (или просто биссектор) двугранного угла, образованного этими гранями. Любая точка, принадлежащая биссекторной плоскости, равноудалена от плоскостей, образующих двугранный угол.

Чтобы центр вписанной сферы был равноудалён от всех граней многогранника, он должен принадлежать биссекторной плоскости каждого двугранного угла многогранника. Это означает, что все биссекторные плоскости двугранных углов при рёбрах этого многогранника должны иметь общую точку.

Таким образом, основным свойством, которым должны обладать биссекторы двугранных углов, является их пересечение в одной-единственной точке внутри многогранника.

Ответ: Все биссекторы двугранных углов при рёбрах выпуклого многогранника должны пересекаться в одной точке.