Номер 7, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 7, страница 114.

Условие.

7. Какая точка является центром шара, вписанного в правильную призму?

Решение 1.

Решение 3.

Центром шара, вписанного в некоторый многогранник, является точка, равноудаленная от всех граней этого многогранника. Рассмотрим, что это за точка в случае правильной призмы.

1. Равноудаленность от оснований.
Основания правильной призмы лежат в параллельных плоскостях. Множеством точек, равноудаленных от двух параллельных плоскостей, является плоскость, параллельная им и расположенная ровно посередине между ними. Следовательно, центр вписанного шара должен лежать в этой серединной плоскости, которая делит высоту призмы пополам.

2. Равноудаленность от боковых граней.
Боковые грани правильной призмы — это равные прямоугольники, перпендикулярные основаниям. Множеством точек, равноудаленных от всех боковых граней правильной призмы, является ее ось. Ось правильной призмы — это прямая, проходящая через центры ее оснований.

Вывод:
Центр вписанного шара должен удовлетворять обоим условиям одновременно, то есть принадлежать как серединной плоскости, так и оси призмы. Пересечением оси призмы и плоскости, делящей ее высоту пополам, является единственная точка — середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы.

Важно отметить, что шар можно вписать не в любую правильную призму, а только в ту, высота которой $H$ равна диаметру окружности, вписанной в ее основание ($2r_{вп}$). То есть должно выполняться условие: $H = 2r_{вп}$.

Ответ: Середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы.