Номер 4, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 4, страница 114.

Условие.

4. Где расположен центр сферы, вписанной в правильную пирамиду?

Решение 1.

Решение 3.

Центр сферы, вписанной в многогранник, — это точка, равноудаленная от всех его граней. Геометрически, эта точка является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника.

В правильной пирамиде основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. В силу симметрии такой пирамиды, все биссекторные плоскости её двугранных углов пересекаются в одной точке, которая лежит на оси симметрии пирамиды, то есть на её высоте.

Чтобы определить точное положение центра вписанной сферы на высоте, рассмотрим осевое сечение пирамиды, которое проходит через её высоту и апофему (высоту боковой грани). В плоскости этого сечения центр вписанной сферы будет являться точкой пересечения высоты пирамиды и биссектрисы линейного угла двугранного угла при основании. Этот линейный угол образован апофемой боковой грани и её проекцией на плоскость основания (апофемой основания).

Ответ: Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, расположен на её высоте в точке пересечения высоты с биссекторной плоскостью любого из двугранных углов при основании пирамиды.