Номер 2, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 2, страница 114.

Условие.

15.2. В правильную треугольную призму вписан шар, радиус которого равен $R$. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь полной поверхности правильной призмы $S_{полн}$ находится как сумма площади боковой поверхности $S_{бок}$ и двух площадей основания $S_{осн}$:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

По условию, в правильную треугольную призму вписан шар радиуса $R$. Это означает, что шар касается всех граней призмы: двух оснований и трех боковых граней.

1. Так как шар касается верхнего и нижнего оснований, расстояние между ними, то есть высота призмы $H$, равно диаметру шара:
$H = 2R$

2. Так как шар касается боковых граней, его сечение плоскостью, проходящей через центр шара параллельно основаниям, является окружностью, вписанной в основание призмы. Радиус этой окружности равен радиусу шара $R$.

3. Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Пусть сторона этого треугольника равна $a$. Радиус $r$ вписанной в равносторонний треугольник окружности выражается через его сторону по формуле:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
Поскольку мы установили, что $r = R$, мы можем найти сторону основания $a$:
$R = \frac{a}{2\sqrt{3}} \implies a = 2\sqrt{3}R$

4. Теперь мы можем вычислить площади основания и боковой поверхности.
Площадь основания (равностороннего треугольника):
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3}R)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3 \cdot R^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{12R^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}R^2$

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $H$. Периметр основания $P_{осн} = 3a$.
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 3a \cdot H = 3 \cdot (2\sqrt{3}R) \cdot (2R) = 12\sqrt{3}R^2$

5. Наконец, находим площадь полной поверхности призмы:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot (3\sqrt{3}R^2) + 12\sqrt{3}R^2 = 6\sqrt{3}R^2 + 12\sqrt{3}R^2 = 18\sqrt{3}R^2$

Ответ: $18\sqrt{3}R^2$