Номер 8, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 8, страница 114.

Условие.

15.8. Основанием прямой призмы, в которую вписан шар, является ромб с острым углом $\alpha$. Найдите угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью её основания.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямая, а ее основание $ABCD$ — ромб с острым углом $\angle BAD = \alpha$. Пусть сторона ромба равна $a$.В призму вписан шар. Это означает, что шар касается обоих оснований призмы и всех ее боковых граней.Из того, что шар касается оснований $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, следует, что высота призмы $H$ равна диаметру шара. Если радиус шара равен $R$, то $H = 2R$.Из того, что шар касается боковых граней, следует, что в основание призмы (ромб $ABCD$) можно вписать окружность, и ее радиус будет равен радиусу шара $R$. Диаметр этой вписанной окружности равен высоте ромба $h$. Таким образом, $h = 2R$.Отсюда следует, что высота призмы равна высоте ее основания: $H = h$.Найдем высоту ромба $h$ через его сторону $a$ и острый угол $\alpha$. Проведя высоту из вершины $B$ на сторону $AD$, получим $h = AB \sin(\angle BAD)$, то есть $h = a \sin(\alpha)$.Следовательно, высота призмы $H = a \sin(\alpha)$.Теперь найдем угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью ее основания. Обозначим этот угол как $\beta$. Меньшая диагональ ромба $d_1$ соединяет вершины с острыми углами, то есть это диагональ $BD$. Меньшая диагональ призмы — это, например, $B_1D$. Угол $\beta$ — это угол между наклонной $B_1D$ и ее проекцией на плоскость основания, которой является диагональ $BD$. Таким образом, $\beta = \angle B_1DB$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BD$. Катет $B_1B$ равен высоте призмы $H$, а катет $BD$ — это меньшая диагональ ромба $d_1$. Тангенс искомого угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$\tan(\beta) = \frac{B_1B}{BD} = \frac{H}{d_1}$.Найдем длину меньшей диагонали ромба $d_1 = BD$. По теореме косинусов для треугольника $ABD$:$d_1^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\alpha)$$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$Используя формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:$d_1^2 = 2a^2 \cdot 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$$d_1 = 2a \sin(\frac{\alpha}{2})$Теперь подставим выражения для $H$ и $d_1$ в формулу для тангенса угла $\beta$:$\tan(\beta) = \frac{H}{d_1} = \frac{a \sin(\alpha)}{2a \sin(\frac{\alpha}{2})}$Сократим $a$ и применим формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:$\tan(\beta) = \frac{2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} = \cos(\frac{\alpha}{2})$Следовательно, искомый угол $\beta$ равен $\arctan(\cos(\frac{\alpha}{2}))$.Ответ: $\arctan(\cos(\frac{\alpha}{2}))$.