Номер 10, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 10, страница 115.

Условие.

15.10. Найдите радиус шара, вписанного в правильную четырёхугольную пирамиду, сторона основания которой равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Высота пирамиды $SO$ проходит через центр основания $O$.

Центр $Q$ шара, вписанного в пирамиду, лежит на ее высоте $SO$. Шар касается плоскости основания в точке $O$, следовательно, радиус шара $r$ равен длине отрезка $QO$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофемы $SM$ и $SN$, где $M$ и $N$ — середины противолежащих сторон основания $BC$ и $AD$. Это сечение — равнобедренный треугольник $MSN$. В этом треугольнике основание $MN = a$, а высота $SO$ делит его на два равных прямоугольных треугольника. Отрезок $OM$ является половиной стороны основания, то есть $OM = \frac{a}{2}$.

Двугранный угол при ребре основания — это угол между боковой гранью (например, $SBC$) и плоскостью основания. Его линейным углом является угол $\angle SMO$ в сечении, и по условию он равен $\alpha$.

Вписанный шар в сечении представлен окружностью, вписанной в треугольник $MSN$. Центр этой окружности $Q$ является точкой пересечения биссектрис. Таким образом, отрезок $MQ$ является биссектрисой угла $\angle SMN = \alpha$, и угол $\angle QMO = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $QOM$. Катет $QO$ — это искомый радиус $r$, а катет $OM = \frac{a}{2}$. По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике: $$ \tan(\angle QMO) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{QO}{OM} $$

Подставим известные значения: $$ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{\frac{a}{2}} $$

Выразим из этого уравнения радиус $r$: $$ r = \frac{a}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$

Ответ: $r = \frac{a}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.