Номер 11, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 11, страница 115.

Условие.

15.11. Найдите радиус шара, вписанного в правильный тетраэдр, ребро которого равно $a$.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения радиуса $r$ шара, вписанного в правильный тетраэдр, воспользуемся формулой, связывающей объем многогранника $V$, площадь его полной поверхности $S_{полн}$ и радиус вписанного шара: $V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$. Из этой формулы можно выразить радиус: $r = \frac{3V}{S_{полн}}$.

Сначала найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$ правильного тетраэдра с ребром $a$. Тетраэдр состоит из четырех одинаковых равносторонних треугольников. Площадь одного такого треугольника ($S_{грани}$) равна: $S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Следовательно, площадь полной поверхности тетраэдра: $S_{полн} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$.

Теперь найдем объем тетраэдра $V$. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота. Площадь основания $S_{осн}$ такая же, как и площадь одной грани: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Для нахождения высоты $H$ тетраэдра, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром тетраэдра $a$ (гипотенуза), высотой $H$ и радиусом $R$ окружности, описанной около основания (катеты). Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. По теореме Пифагора: $H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$. Отсюда высота $H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Теперь можем вычислить объем тетраэдра: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3\sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

Наконец, подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в формулу для радиуса вписанного шара: $r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{12}}{a^2\sqrt{3}} = \frac{\frac{a^3\sqrt{2}}{4}}{a^2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}$. Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем: $r = \frac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$.

Ответ: $r = \frac{a\sqrt{6}}{12}$