Номер 6, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 6, страница 114.

Условие.

15.6. Основанием прямой призмы является прямоугольная трапеция, большая боковая сторона которой равна 12 см, а острый угол – $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.

Решение 1.

Решение 3.

Обозначим данную прямую призму как $ABCA_1B_1C_1$. Основанием призмы является прямоугольная трапеция $ABCD$. Пусть $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Тогда $AB$ — меньшая боковая сторона и высота трапеции, $CD$ — большая боковая сторона, а $\angle D$ — острый угол.

По условию, большая боковая сторона $CD = 12$ см, а острый угол $\angle D = 30^\circ$.

Условие, что в прямую призму можно вписать шар, означает, что в основание призмы (трапецию) можно вписать окружность, и высота призмы $H$ равна диаметру этой окружности. Диаметр вписанной в прямоугольную трапецию окружности равен её высоте.

1. Найдем высоту трапеции. Проведем высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CKD$. В этом треугольнике $CK$ является катетом, противолежащим углу $\angle D = 30^\circ$, а $CD$ — гипотенузой. Высота $CK$ равна: $CK = CD \cdot \sin(\angle D) = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см. Высота трапеции $h = AB = CK = 6$ см.

2. Найдем высоту призмы. Так как в призму вписан шар, её высота $H$ равна диаметру окружности, вписанной в основание. Диаметр этой окружности равен высоте трапеции. Следовательно, $H = h = 6$ см.

3. Найдем периметр основания. Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания. Поскольку в трапецию $ABCD$ можно вписать окружность, суммы её противолежащих сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Нам известны $AB = 6$ см и $CD = 12$ см. $AB + CD = 6 + 12 = 18$ см. Следовательно, $BC + AD = 18$ см. Периметр трапеции $P_{осн}$ равен сумме длин всех её сторон: $P_{осн} = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD) = 18 + 18 = 36$ см.

4. Вычислим площадь боковой поверхности призмы. $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 36 \cdot 6 = 216$ $см^2$.

Ответ: $216$ $см^2$.