Номер 4, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 4, страница 114.

Условие.

15.4. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$. Найдите радиус шара, вписанного в данную призму.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. По условию, один из катетов равен $a$, а противолежащий ему угол равен $\alpha$.

Для того чтобы в прямую призму можно было вписать шар, необходимо, чтобы в ее основание можно было вписать окружность, а высота призмы $H$ была равна диаметру этой окружности. Радиус вписанного шара $R$ будет равен радиусу $r$ окружности, вписанной в треугольник в основании. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в заданный прямоугольный треугольник.

Сначала найдем остальные стороны треугольника в основании. Пусть катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $a$. Второй катет $b$ и гипотенузу $c$ можно выразить через $a$ и $\alpha$ с помощью тригонометрических функций:
Второй катет $b$ является прилежащим к углу $\alpha$, поэтому:
$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} \implies b = \frac{a}{\tan(\alpha)} = a \cdot \cot(\alpha)$.
Гипотенузу $c$ найдем из определения синуса:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} \implies c = \frac{a}{\sin(\alpha)}$.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$, вычисляется по формуле:
$r = \frac{a+b-c}{2}$.
Так как искомый радиус шара $R$ равен $r$, подставим найденные выражения для сторон $b$ и $c$ в эту формулу:
$R = \frac{a + a \cdot \cot(\alpha) - \frac{a}{\sin(\alpha)}}{2}$.

Теперь упростим полученное выражение. Вынесем общий множитель $\frac{a}{2}$ за скобки:
$R = \frac{a}{2} \left(1 + \cot(\alpha) - \frac{1}{\sin(\alpha)}\right)$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$R = \frac{a}{2} \left(1 + \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} - \frac{1}{\sin(\alpha)}\right) = \frac{a}{2} \left(\frac{\sin(\alpha) + \cos(\alpha) - 1}{\sin(\alpha)}\right)$.
Для дальнейшего упрощения воспользуемся формулами половинного угла. Известно, что $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ и $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.
Преобразуем числитель дроби в скобках:
$\sin(\alpha) + \cos(\alpha) - 1 = \sin(\alpha) - (1 - \cos(\alpha)) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\left(\cos(\frac{\alpha}{2}) - \sin(\frac{\alpha}{2})\right)$.
Подставим преобразованный числитель и знаменатель обратно в формулу для $R$:
$R = \frac{a}{2} \cdot \frac{2\sin(\frac{\alpha}{2})\left(\cos(\frac{\alpha}{2}) - \sin(\frac{\alpha}{2})\right)}{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}$.
Сократив общий множитель $2\sin(\frac{\alpha}{2})$, получим:
$R = \frac{a}{2} \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2}) - \sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2} \left(\frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} - \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}\right) = \frac{a}{2} \left(1 - \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$.
Ответ: $\frac{a}{2} \left(1 - \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$