Номер 5, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 5, страница 114.

Условие.

15.5. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведённая к его основанию, равна $h$ и образует с боковой стороной треугольника угол $\alpha$. Найдите высоту призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку призма является прямой и в нее можно вписать шар, это означает, что в основание призмы можно вписать окружность, и высота призмы $H$ равна диаметру этой окружности. Если $r$ — радиус окружности, вписанной в треугольник в основании, то высота призмы $H = 2r$. Задача сводится к нахождению радиуса $r$.

Рассмотрим основание призмы — равнобедренный треугольник, назовем его $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB=BC$. Пусть $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$. По условию, длина этой высоты $BH = h$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой.

Угол между высотой $BH$ и боковой стороной (например, $BC$) равен $\alpha$. Таким образом, в прямоугольном треугольнике $BHC$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$) угол $\angle HBC = \alpha$.

Из прямоугольного треугольника $BHC$ найдем длины сторон треугольника $ABC$:

• Катет $HC$ равен: $HC = BH \cdot \tan(\angle HBC) = h \cdot \tan(\alpha)$.
• Поскольку $BH$ — медиана, основание $AC = 2 \cdot HC = 2h \tan(\alpha)$.
• Гипотенуза $BC$ (боковая сторона треугольника) равна: $BC = \frac{BH}{\cos(\angle HBC)} = \frac{h}{\cos(\alpha)}$.

Теперь мы можем найти радиус $r$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем площадь треугольника $ABC$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (2h \tan(\alpha)) \cdot h = h^2 \tan(\alpha)$.

2. Найдем полупериметр треугольника $ABC$:
$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{\frac{h}{\cos(\alpha)} + \frac{h}{\cos(\alpha)} + 2h \tan(\alpha)}{2} = \frac{h}{\cos(\alpha)} + h \tan(\alpha)$.
Преобразуем выражение для полупериметра:
$p = h \left( \frac{1}{\cos(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \right) = h \frac{1 + \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

3. Вычислим радиус $r$ вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{h^2 \tan(\alpha)}{h \frac{1 + \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{h^2 \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{h \frac{1 + \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{h \sin(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)}$.

4. Наконец, найдем высоту призмы $H$:
$H = 2r = 2 \cdot \frac{h \sin(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)} = \frac{2h \sin(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)}$.

Ответ: $\frac{2h \sin(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)}$