Номер 5, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 5, страница 114.

Условие.

5. Какими свойствами должны обладать основание и высота прямой призмы, чтобы в неё можно было вписать сферу?

Решение 1.

Решение 3.

Для того чтобы в прямую призму можно было вписать сферу, необходимо, чтобы сфера касалась всех ее граней: двух оснований и всех боковых граней. Разберем, какие условия это накладывает на основание и высоту призмы.

1. Условие касания оснований

Основания прямой призмы — это два равных многоугольника, которые лежат в параллельных плоскостях. Расстояние между этими плоскостями равно высоте призмы $H$. Если сфера радиусом $R$ касается обоих оснований, то ее центр должен быть равноудален от них. Расстояние от центра сферы до каждого из оснований равно $R$. Следовательно, расстояние между основаниями, то есть высота призмы $H$, должно быть равно диаметру сферы $2R$.

Таким образом, первое необходимое свойство: $H = 2R$.

Центр сферы при этом будет лежать в плоскости, параллельной основаниям и проходящей ровно посередине между ними.

2. Условие касания боковых граней

Боковые грани прямой призмы перпендикулярны ее основаниям. Рассмотрим сечение призмы и вписанной в нее сферы плоскостью, которая параллельна основаниям и проходит через центр сферы. В сечении мы получим многоугольник, равный основанию призмы, и большой круг сферы (круг, радиус которого равен радиусу сферы $R$).

Поскольку сфера касается всех боковых граней призмы, то этот большой круг должен касаться всех сторон многоугольника, являющегося сечением. Это означает, что в многоугольник, который является основанием призмы, можно вписать окружность. Радиус этой вписанной окружности $r$ будет равен радиусу большого круга, а значит, и радиусу самой сферы: $r = R$.

Вывод

Объединяя оба условия, получаем, что для возможности вписать сферу в прямую призму должны выполняться следующие свойства:

• В основание призмы должен вписываться круг. То есть основание должно быть тангенциальным многоугольником (например, любой треугольник, ромб, квадрат, правильный многоугольник).
• Высота призмы $H$ должна быть равна диаметру окружности, вписанной в ее основание. Из первого условия мы получили $H = 2R$, а из второго $r = R$. Подставив второе в первое, получаем $H = 2r$.

Ответ: Основание прямой призмы должно быть многоугольником, в который можно вписать окружность, а высота призмы должна быть равна диаметру этой вписанной окружности.