Номер 30, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 30, страница 110.

Условие.

14.30. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 20 см, а высота, проведённая к боковой стороне, – 24 см. Найдите площадь данного треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = b$, а основание $AC = a$.

Пусть $BH$ – высота, проведённая к основанию $AC$, а $AK$ – высота, проведённая к боковой стороне $BC$.

По условию задачи имеем:

$h_a = BH = 20$ см.

$h_b = AK = 24$ см.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Выразим площадь данного треугольника двумя способами:

1. Используя основание $AC$ и высоту $BH$:
   $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 20 = 10a$
2. Используя боковую сторону $BC$ и высоту $AK$:
   $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 24 = 12b$

Так как оба выражения представляют площадь одного и того же треугольника, мы можем их приравнять, чтобы найти соотношение между сторонами $a$ и $b$:

$10a = 12b$

Отсюда выразим $a$ через $b$:

$a = \frac{12b}{10} = \frac{6}{5}b$

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $H$ делит основание $AC$ пополам: $HC = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

Подставим известные значения и переменные:

$b^2 = 20^2 + (\frac{a}{2})^2$

$b^2 = 400 + \frac{a^2}{4}$

Теперь подставим в это уравнение полученное ранее соотношение $a = \frac{6}{5}b$:

$b^2 = 400 + \frac{(\frac{6}{5}b)^2}{4}$

$b^2 = 400 + \frac{\frac{36}{25}b^2}{4}$

$b^2 = 400 + \frac{9}{25}b^2$

Решим это уравнение относительно $b^2$:

$b^2 - \frac{9}{25}b^2 = 400$

$\frac{25b^2 - 9b^2}{25} = 400$

$\frac{16}{25}b^2 = 400$

$b^2 = \frac{400 \cdot 25}{16} = 25 \cdot 25 = 625$

$b = \sqrt{625} = 25$ см.

Мы нашли длину боковой стороны. Теперь можем вычислить площадь треугольника, используя формулу $S = 12b$:

$S = 12 \cdot 25 = 300$ см$^2$.

Для проверки можно найти основание $a = \frac{6}{5} \cdot 25 = 30$ см и вычислить площадь по другой формуле: $S = 10a = 10 \cdot 30 = 300$ см$^2$. Результаты совпадают.

Ответ: $300$ см$^2$.