Номер 24, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 24, страница 109.

Условие.

14.24. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной $a$. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а третья грань образует с основанием угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$. Пусть боковые грани $SAB$ и $SAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$.

Так как две плоскости ($SAB$ и $SAC$), проходящие через прямую $SA$, перпендикулярны третьей плоскости ($ABC$), то их линия пересечения $SA$ также перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, ребро $SA$ является высотой пирамиды $H$, то есть $SA \perp (ABC)$.

Третья боковая грань $SBC$ образует с основанием угол $\alpha$. Угол между двумя плоскостями (двугранный угол) измеряется линейным углом. Построим его. В плоскости основания проведем высоту (которая также является и медианой) $AM$ к стороне $BC$. Так как $AM$ является проекцией наклонной $SM$ на плоскость основания и $AM \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах $SM \perp BC$. Следовательно, угол $\angle SMA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SBC$ и основанием $ABC$. По условию, $\angle SMA = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAM$ (угол $\angle SAM = 90^\circ$). Длина $AM$ как высоты правильного треугольника $ABC$ равна $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Высота пирамиды $H$ равна $SA$. Из треугольника $SAM$ находим: $H = SA = AM \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)$.

Теперь найдем радиус $R$ описанной около пирамиды сферы. Центр описанной сферы $O$ равноудален от всех вершин пирамиды: $OA = OB = OC = OS = R$.

Множество точек, равноудаленных от вершин основания $A, B, C$, есть прямая, перпендикулярная плоскости основания $ABC$ и проходящая через центр описанной около треугольника $ABC$ окружности, точку $O_{осн}$.

Множество точек, равноудаленных от вершин $S$ и $A$, есть плоскость, перпендикулярная ребру $SA$ и проходящая через его середину.

Поскольку ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, то плоскость, являющаяся серединным перпендикуляром к $SA$, будет параллельна плоскости $ABC$ и отстоять от нее на расстояние, равное половине высоты пирамиды, то есть $H/2$.

Центр сферы $O$ является точкой пересечения этих двух множеств. Следовательно, проекция центра сферы $O$ на плоскость основания совпадает с центром $O_{осн}$ описанной окружности треугольника $ABC$, а сам центр $O$ находится на высоте $H/2$ от плоскости основания.

Радиус $R$ описанной сферы можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $OO_{осн}A$. Гипотенуза этого треугольника $OA = R$, а катеты – это расстояние от центра сферы до плоскости основания $OO_{осн} = H/2$ и радиус описанной около основания окружности $R_{осн} = O_{осн}A$.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, равен $R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, для квадрата радиуса сферы получаем:$R^2 = R_{осн}^2 + (OO_{осн})^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{3} + \frac{H^2}{4}$.

Подставим найденное ранее выражение для высоты $H$:$R^2 = \frac{a^2}{3} + \frac{1}{4} \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)\right)^2 = \frac{a^2}{3} + \frac{1}{4} \left(\frac{3a^2}{4} \tan^2(\alpha)\right) = \frac{a^2}{3} + \frac{3a^2 \tan^2(\alpha)}{16}$.

Приведем к общему знаменателю:$R^2 = \frac{16a^2 + 9a^2 \tan^2(\alpha)}{48} = \frac{a^2(16 + 9\tan^2(\alpha))}{48}$.

Извлекая квадратный корень, находим радиус $R$:$R = \sqrt{\frac{a^2(16 + 9\tan^2(\alpha))}{48}} = \frac{a\sqrt{16 + 9\tan^2(\alpha)}}{\sqrt{48}} = \frac{a\sqrt{16 + 9\tan^2(\alpha)}}{4\sqrt{3}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:$R = \frac{a\sqrt{3}\sqrt{16 + 9\tan^2(\alpha)}}{12}$.

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{3}}{12}\sqrt{16 + 9\tan^2(\alpha)}$.