Номер 21, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 21, страница 109.

Условие.

14.21. Радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, равен 25 см, а расстояние от его центра до плоскости основания пирамиды равно 7 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида, $S$ – ее вершина, $ABC$ – основание. Пусть $O$ – центр описанного шара, а $R$ – его радиус. По условию $R = 25$ см. Пусть $H$ – центр основания $ABC$ (точка пересечения медиан, высот и биссектрис). Так как пирамида правильная, отрезок $SH$ является ее высотой, а центр описанного шара $O$ лежит на прямой, содержащей высоту $SH$.

Расстояние от центра шара $O$ до плоскости основания $ABC$ равно длине отрезка $OH$. По условию, $OH = 7$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHA$, где $A$ – одна из вершин основания пирамиды. Вершина $A$ лежит на сфере, поэтому отрезок $OA$ является радиусом шара, $OA = R = 25$ см. В треугольнике $\triangle OHA$ гипотенуза $OA = 25$ см, катет $OH = 7$ см. Второй катет $AH$ является радиусом окружности, описанной около треугольника $ABC$. Найдем $AH$ по теореме Пифагора: $OA^2 = OH^2 + AH^2$ $AH^2 = OA^2 - OH^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$ см$^2$ $AH = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь найдем длину бокового ребра пирамиды $L=SA$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SHA$. Его катеты – это высота пирамиды $SH=h$ и радиус описанной около основания окружности $AH=24$ см. Гипотенуза – боковое ребро $SA=L$. По теореме Пифагора: $L^2 = SA^2 = SH^2 + AH^2 = h^2 + 24^2$.

Для нахождения высоты $h$ необходимо рассмотреть расположение точек $S$, $O$, $H$ на одной прямой. Вершина пирамиды $S$ также лежит на сфере, поэтому расстояние от центра шара до вершины равно радиусу: $OS = R = 25$ см. В зависимости от того, находится ли центр шара $O$ между вершиной $S$ и основанием или нет, возможны два случая.

Случай 1: Центр шара O и вершина S лежат по разные стороны от плоскости основания.
В этом случае точка $H$ (центр основания) находится между точками $S$ и $O$. Тогда длина отрезка $OS$ равна сумме длин отрезков $SH$ и $OH$: $OS = SH + OH$ $R = h_1 + OH$ $25 = h_1 + 7$ Отсюда высота пирамиды $h_1 = 25 - 7 = 18$ см. Теперь найдем боковое ребро $L_1$: $L_1^2 = h_1^2 + AH^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$ см$^2$. $L_1 = \sqrt{900} = 30$ см.

Случай 2: Центр шара O и вершина S лежат по одну сторону от плоскости основания.
В этом случае точка $O$ находится между точками $S$ и $H$. Тогда высота пирамиды $SH$ равна сумме длин отрезков $SO$ и $OH$: $SH = SO + OH$ $h_2 = R + OH$ $h_2 = 25 + 7 = 32$ см. Теперь найдем боковое ребро $L_2$: $L_2^2 = h_2^2 + AH^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600$ см$^2$. $L_2 = \sqrt{1600} = 40$ см.

Оба случая приводят к геометрически возможным конфигурациям, поэтому задача имеет два решения.
Ответ: 30 см или 40 см.