Номер 17, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 17, страница 109.

Условие.

14.17. В треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно $b$, а высота равна $h$. Воспользовавшись результатом задачи 3 из § 14, определите, при каком соотношении между боковым ребром $b$ и высотой $h$ центр описанной около пирамиды сферы принадлежит пирамиде, а при каком соотношении — не принадлежит пирамиде.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана треугольная пирамида, у которой каждое боковое ребро равно $b$, а высота равна $h$.

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны, ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Центр сферы, описанной около такой пирамиды, лежит на ее высоте (или на ее продолжении).

Воспользуемся результатом задачи 3 из § 14, который гласит, что радиус $R$ описанной около такой пирамиды сферы вычисляется по формуле:$R = \frac{b^2}{2h}$

Центр описанной сферы находится на высоте на расстоянии $R$ от вершины пирамиды. Для того чтобы центр сферы принадлежал пирамиде, он должен лежать на отрезке высоты, то есть расстояние от вершины до центра сферы не должно превышать длину высоты. Таким образом, условие принадлежности центра сферы пирамиде — это $R \le h$. Если $R > h$, центр сферы лежит вне пирамиды.

При каком соотношении центр описанной около пирамиды сферы принадлежит пирамиде

Центр сферы принадлежит пирамиде, если выполняется неравенство:$R \le h$Подставим формулу для радиуса:$\frac{b^2}{2h} \le h$Так как высота $h$ — положительная величина, умножим обе части неравенства на $2h$:$b^2 \le 2h^2$Поскольку $b$ и $h$ — длины отрезков и, следовательно, положительны, извлечем квадратный корень из обеих частей:$b \le h\sqrt{2}$Ответ: Центр описанной сферы принадлежит пирамиде при соотношении $b \le h\sqrt{2}$.

При каком соотношении центр описанной около пирамиды сферы не принадлежит пирамиде

Центр сферы не принадлежит пирамиде, если он лежит вне отрезка высоты, то есть выполняется неравенство:$R > h$Подставим формулу для радиуса:$\frac{b^2}{2h} > h$Умножим обе части на $2h > 0$:$b^2 > 2h^2$Извлечем квадратный корень из обеих частей:$b > h\sqrt{2}$Ответ: Центр описанной сферы не принадлежит пирамиде при соотношении $b > h\sqrt{2}$.