Номер 12, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 12, страница 108.

Условие.

14.12. В шар вписана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите радиус шара.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с основанием ABC. O — центр основания (равностороннего треугольника ABC), SO — высота пирамиды $H$. Сторона основания $a = 6$ см. Боковое ребро, например SA, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Этот угол равен углу между ребром SA и его проекцией AO на плоскость основания. Таким образом, в прямоугольном треугольнике SOA (угол $\angle SOA = 90^\circ$) угол $\angle SAO = 30^\circ$.

1. Найдем радиус описанной около основания окружности. Этот радиус равен длине отрезка AO. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $r_b$ вычисляется по формуле:

$r_b = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 6$ см:

$AO = r_b = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. Зная катет AO и прилежащий угол $\angle SAO = 30^\circ$, найдем высоту пирамиды $H = SO$ и длину бокового ребра $l = SA$.

Высота пирамиды:

$H = SO = AO \cdot \tan(\angle SAO) = 2\sqrt{3} \cdot \tan(30^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2$ см.

Длина бокового ребра:

$l = SA = \frac{AO}{\cos(\angle SAO)} = \frac{2\sqrt{3}}{\cos(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$ см.

3. Центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Обозначим центр шара как $O_s$, а его радиус как $R$. Расстояние от центра шара до любой вершины пирамиды равно радиусу, то есть $O_sA = O_sS = R$.

Рассмотрим сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через точки S, O и A. В этой плоскости лежит прямоугольный треугольник SOA и центр шара $O_s$ (на прямой SO). В прямоугольном треугольнике $O_sOA$ по теореме Пифагора:

$O_sA^2 = AO^2 + O_sO^2 \implies R^2 = (2\sqrt{3})^2 + O_sO^2 = 12 + O_sO^2$.

Расстояние от центра шара до вершины S также равно радиусу: $O_sS = R$. Так как точки S, O, $O_s$ лежат на одной прямой, то $O_sS = |SO - O_sO| = |H - O_sO|$.

$R = |2 - O_sO| \implies R^2 = (2 - O_sO)^2$.

Приравняем два выражения для $R^2$:

$12 + O_sO^2 = (2 - O_sO)^2$

$12 + O_sO^2 = 4 - 4 \cdot O_sO + O_sO^2$

$12 = 4 - 4 \cdot O_sO$

$4 \cdot O_sO = 4 - 12$

$4 \cdot O_sO = -8$

$O_sO = -2$ см.

Знак "минус" означает, что центр шара $O_s$ лежит на продолжении высоты SO за плоскость основания. Теперь найдем радиус $R$:

$R^2 = 12 + O_sO^2 = 12 + (-2)^2 = 12 + 4 = 16$

$R = \sqrt{16} = 4$ см.

Также можно использовать общую формулу для радиуса описанного шара для правильной пирамиды: $R = \frac{l^2}{2H}$.

Подставим найденные значения $l=4$ см и $H=2$ см:

$R = \frac{4^2}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$ см.

Ответ: 4 см.